Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
будущее и прошедшее могут поменяться местами; в нашем исследовании мы
отбросим преобразования Лоренца, допускающие это изменение. Согласно
(107.6) якобиан / преобразования Лоренца есть / = ±1; преобразование
называется собственным, если / = +1, и несобственным, если / = -1.
Основной постулат теории относительности состоит в том, что все законы
динамики должны быть инвариантными относительно собственных лоренцовых
преобразований, сохраняющих будущее. Это эквивалентно утверждению, что
законы допускают геометрическое построение с помощью геометрии
пространства - времени Минковского (ср. § 5). Кроме того, предполагается,
что любое перемещение материальной частицы dxr вдоль мировой линии -
времениподобнОе. Это эквивалентно утверждению, что ни одна частица не
может передвигаться со скоростью света (ср. § 108 ниже).
Абстрактное понятие интервала ds приобретает физическое содержание при
помощи утверждения, что вдоль мировой линии материальной частицы ds
является мерой собственного времени, т. е. времени, определяемого
стандартными часами, перемещающимися вместе с частицей.
Говорят, что наблюдатель галилеев (или, что употребляется чаще, галилеева
система отсчета), если интервал ds между любыми двумя событиями можно
выразить в виде (107.2) или (107.4) через его координаты. Когда два
галилеевых наблюдателя, S и S', наблюдают одно и то же событие, их
наблюдения связаны преобразованием Лоренца. При соответствующем выборе
пространственных осей для обоих наблюдателей лоренц-преобразование,
связывающее два наблюдения, может быть выражено в простой форме,
(107.10)
где
1
(107.11)
§ 108] КИНЕМАТИКА В ПРОСТРАНСТВЕ - ВРЕМЕНИ 395
a v - относительная скорость S и S'; более точно, скорость наблюдателя S'
относительно S есть (v, 0, 0), а скорость наблюдателя S относительно S'
есть (-v, 0, 0).
§ 108. Кинематика в пространстве - времени. 4-им-пульс. а) Скорость
точки. Рассмотрим движущуюся точку (не обязательно частицу). Уравнения ее
мировой линии можно написать в виде
¦хг = хг{%), (108.1)
где % - монотонный параметр. 3-скорость точки равна
Vp = df± = icd?lL. (Ю8.2)
dt dxk
Отсюда абсолютная величина скорости v, определенная как
v = VvpVp, (108.3)
больше, равна или меньше, чем с, в зависимости от того, является 4-вектор
dxr/d% пространственноподобным, нулевым или времениподобным.
Для материальной частицы этот 4-вектор времени-подобный и мы определяем
4-скорость как времениподоб-ный единичный вектор
- , (108.4)
ds
удовлетворяющий условию
ЯА= -1. (ЮВ.5)
Согласно определению (108.2) существуют следующие соотношения между 3-
скоростью и 4-скоростью:
¦К 1 __ Y^p 1 _
396
ПРОСТРАНСТВО - ВРЕМЯ МИНКОВСКОГО [ГЛ. I
Для точки, движущейся быстрее, чем свет, 4-скорость можно определить
уравнениями (108.4); в (108.5) надо заменить -1 на +1, и соотношения для
3-скорости имеют вид (108.6), с той только разницей, что у заменяется на
Y*. где
Y* = -, 1 ' • (108.7)
1
Для фотона предполагаем, что dxT/d% есть нулевой вектор. Таким образом,
абсолютная скорость фотона есть с. Он не имеет допускающей определение 4-
скорости; выражение (108.4) нельзя использовать потому, что ds = 0. Р)
Волновая скорость. Уравнение
F (xi, х2, х3, Xi) = 0 (108.8)
определяет 3-пространство в пространстве - времени. Его можно назвать 3-
волной. Это есть, так сказать, история 2-волны; мгновенная 2-волна может
быть получена, если положить х4 = const в уравнении (108.8).
Легко видеть, что нормальная 3-скорость 2-волны естьх)
up = -AcL>Ll, (108.9)
** )СГ Я )СГ
где F,r = dF/дхТ. Отсюда следует, что абсолютная величина скорости и
распространения волны удовлетворяет уравнению
с2 F F
(108Л0)
^ \* *4)
Так как F,t - чисто мнимая, то и больше, равна или меньше, чем с, в
зависимости от того, является ли 4-вектор F,r (который есть
пространственновременная нормаль к 3-волне) времениподобным, нулевым или
пространственноподобным.
х) См. Synge, цит. соч. в § 107, стр. 419.
& 108] КИНЕМАТИКА В ПРОСТРАНСТВЕ - ВРЕМЕНИ 39?
у) 4-у.скорение. Для материальной частицы 4-ускоре-
ние есть 4-вектор:
= (108.11)
[ds ds
Он ортогонален (в смысле пространства - времени) 4-скорости, потому что
условие (108.5) дает
Лг-' = 0. (108.12)
ds
3-ускорение, # определенное ньютоновым способом как
ар = ^ , (108.13)
at
можно выразить следующим образом:
= <108'14>
так как j ds = с dt, Я4 = ij.
б) Сложение скоростей. Пусть S и S' - две галилеевы системы отсчета,
связанные с помощью преобразования Лоренца соотношениями (107.10). Пусть
частица движется со скоростью (F, 0, 0) относительно S'. Тогда ее
скорость относительно системы S равна (и, 0, 0), где
v 4- V
и = ^ . (108.15)
i+^
' с2
Этот закон сложепия скоростей можно выразить через гиперболические
функции в форме
ф = ф + Ф, (108.16)
где
th ф = , th ф = у , th Ф - . (108.17)
е) 4-импульс. Мы связываем с частицей число т - ее собственную массу,
которая инвариантна относительно
398 Пространство - время МйнКоВСКоРО 1гл. 1
преобразования Лоренца. 4-импульс частицы определяется как
