Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
операторов Хэвисайда р и р~г, которые некоммутативны; и хотя они вносят
некоторую формальную простоту в теорию, мы пе будем употреблять их здесь.
Об операционных методах, оспованных на преобразовании Лапласа см.
Churchill R. Y., Modem Operational Mathematics in Engineering (New York
and London: Macmillan, 1948); Wagner K. W.: Operationsrechnung (Leipzig,
1940); Sneddon I. N., Fourier Transforms (New York: McGraw Hill, 19511;
Handbuch der Physik, Т. II, стр. 251.
(104.8)
где
(104.9)
DppApa = 6PD, где D - детерминант вида
В == det (при -f- cppI -f- bppI).
(104.11)
(104.10)
q^ = ±Dpp(Bp+I2Qp).
(104.12)
§ 104]
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. РЕЗОНАНС
377
ные, зависящие от начальных данных, Lt - постоянные, не зависящие от
начальных данных, а зависящие фактически только от трех матриц ярст, Ьра,
срст. Подставим теперь выражения (104.16) в (104.12) и применим следующие
формулы1):
где а - некоторая постоянная. Решение (104.12) принимает вид
Приведенный выше результат является весьма общим и ограничен только
неявным предположением, сделанным в (104.16), что собственные значения
различны. В случаях вырождения эти разложения должны быть изменены
добавлением дробей с более высокими степенями в знаменателях.
Предположим теперь, что возмущающая сила -гармоническая вида (104.2). И
предположим, кроме того, что все собственные значения различны и имеют
отрицательные действительные части. Тогда, опуская те члены, которые
стремятся к нулю при t ->оо, получаем из (104.18) следующее выражение для
вынужденного колебания, вызванного приложенной силой (104.2):
0 Легко установить эти формулы; ср. Jeffreys'H. and Jeffreys В. стр. 233,
цит. выше в предыдущем примечании.
>
(104.17)
о
J
t
0
... + Qp (t) dT. (104.18)
.ICi
(104.19)
§ 104] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. РЕЗОНАНС 377
ные, зависящие от начальных данных, Li - постоянные, не зависящие от
начальных данных, а зависящие фактически только от трех матриц арр, Ьра,
сро. Подставим теперь выражения (104.16) в (104.12) и применим следующие
формулы1):
где а - некоторая постоянная. Решение (104.12) принимает вид
Приведенный выше результат является весьма общим и ограничен только
неявным предположением, сделанным в (104.16), что собственные значения
различны. В случаях вырождения эти разложения должны быть измененЬг
добавлением дробей с более высокими степенями в знаменателях.
Предположим теперь, что возмущающая сила -гармоническая вида (104.2). И
предположим, кроме того, что все собственные значения различны и имеют
отрицательные действительные части. Тогда, опуская те члены, которые
стремятся к нулю при t->оо, получаем из (104.18) следующее выражение для
вынужденного колебания, вызванного приложенной силой (104.2):
-Ц /(<)= ( / СО U~x)dt,
1 - al .)
• (104.17)
о
)
q'* = KUSxt + eS2< + ... -f +
t
о
... +Ll% es(tm)(t-x)] Qp (t) dx. (104.18)
(104.19)
x) Легко установить эти формулы; ср. Jeffrey s' Н. and Jeffreys В. стр.
233, цит. выше в предыдущем примечании.
378
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[ГЛ. "VII
Так как частота (c) входит только явно, то формула ясно представляет
явление резонанса1).
§ 105. Колебания около состояния установившегося движения или около
сингулярной точки в фазовом пространстве (QP). Преобразование II к
нормальной форме.
Рассмотрим динамическую систему с N степенями свободы и гамильтонианом Н
(д, р), в который не входят некоторые из координат (игнорируемые
координаты). Установившееся движение - это движение, в котором
неигнорируемые координаты и соответствующие им импульсы постоянны.
Пусть имеется М игнорируемых координат qA (А = = 1, 2, . . ., М),
неигнорируемые координаты обозначим через @г (Г = 1, 2, . . . N - М),
аналогично обозначим импульсы. Тогда гамильтониан может быть написан
Комбинируя эти последние условия с (105.2), получаем для установившегося
движения
где аА - постоянные, так что игнорируемые координаты возрастают с
постоянной скоростью, а соответствующие импульсы постоянны. Комбинируя
условия (105.4)
(105.1)
а уравнения движения - в виде
дН дН
Ча = -- . Ра - - -- - 0, дрА oqA
(105.2)
(105.3)
Условия установившегося движения имеют вид
<?г = 0, Рг = 0.
(105.4)
Ча = aAt + const, рл = const, (105.5)
1) Ср. с (33.10) для гармонического осциллятора.
§ 105]
КОЛЕБАНИЯ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ (QP)
379
с (105.3), получаем для установившегося движения уравнения
НЕ = о, - = о. (105.6)
0(^i' дР г
Для того чтобы получить такое движение, должны удовлетворяться 2 (N - М)
уравнений, задавая подходящие значения 2N - М постоянным (Q, р, Р). Таким
образом, вообще говоря, можно ожидать, что мы найдем сом установившихся
движений, где М - число игнорируемых координат.
Если система, находящаяся в установившемся движении, возмущена таким
образом, что постоянные рА не изменяются, то можно исследовать колебания
около такого движения (105.3), линеаризированные с помощью предположения,
что (Q, Р) принимают значения, близкие к тем постоянным значениям,
которые они имеют в невозмущенном установившемся движении.
