Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
228.
S iОб] КОЛЕБАНИЯ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ (QP) 383
Тогда справедливы равенства
Y 4 HY = rZ ГН- FZ1 Г = - rZHlZ ^r. (105.25)
Однако, транспонируя (105.22), получаем соотношение ZHrZ'1 = - L
(105.26)
и, следовательно,
Y~lrHY = ГЬТ = L. (105.27)
Таким образом, Y тоже есть матрица-решение и это решение связано с Z
соотношением (105.23), где Р - некоторая диагональная матрица. Отсюда
имеем
P=YlZ=-TZrz, ГР = ZrZ; (105.28)
транспонируя эти матрицы, получаем
РГ=ГР, (105.29)
откуда следует, что P-матрица имеет форму
(Ра 0'\
Но Г.)' (105-30)
где Р0 - диагональная N X N матрица.
Найдем в классе матриц-решений, удовлетворяющих условию (105.22), матрицу
(назовем ее J), удовлетворяющую условию симплектичности (ср. с (87.16)),
jrj = r. (105.31)
Мы сделаем это, выбрав произвольную матрицу-решение Z, образуя
соответствующую диагональную матрицу Р согласно (105.28) и определив D
как
D-(? J) (Ю5.32)
и полагая затем
J = ZD. (105.33)
Легко проверить, что выполняется равенство
DrD = ГР 1, (105.34)
а поэтому согласно (105.28) равенство
J1J = DZ1ZD = DIPD = D1DP = Г. (105.35) Тем самым доказано (105.31).
3&4 МаЛыё КОЛЕБАНИЙ [ГЛ. VIII
Пусть J определено формулой (105.33); применим КП
z = Jz' (105.36)
и гамильтониан примет вид
2 H = z'H'z', (105.37)
Так как J - матрица-решение, то соотношение (105.26) дает
JHrf'^-L, JH = LJT, (105.38)
и, следовательно,
/ О Ь0\
H'=LJrJ = Lr= I 0j. (105.39)
Таким образом, с помощью КП можно преобразовать квадратичный гамильтониан
к нормальной форме
Н = Kiqipi + 'ktqtPt + .... + XNqNpN, (105.40)
где X - корни уравнения (105.18). Новые координаты
(? ) Р') > вообще говоря, комплексные.
Применим еще одно КП с производящей функцией
<?(?',*") = 2 (?р^'-4т--тлр?ра)' <105-41>
р=i '
так что будут иметь место уравнения (без обычного условия суммирования)
dG ,, 1 , " dG , рр
Рр ~ a - Рр о ^рЯр > Яр - -~г, ~Яр - ?
дЯр * дрр Хр
(105.42)
тогда гамильтониан преобразуется в другую нормальную форму
Н = j(pi 2 + ... + Pn2 - ^?9Г2 - • • • - ^w9w2).
(105.43)
§ 106]
ВОЗМУЩЕНИЯ
385
Если использовать форму (105.40), то уравнения движения имеют вид
дН' . , . дН нс\к//\
qi = -- = hqi, р 1 = - - = - Mpi, (105.44)
dp i dq i
где переменные разделены; движение определяется уравнениями
q[ = bieXlt, ..., р[ ~ - aie~llt, . .., (105.45)
где постоянные коэффициенты зависят от начальных условий. Ясно, что
движение, определяемое этими уравнениями, устойчиво тогда и только тогда,
когда все к, чисто мнимые.
Легко показать, что если Н (q, р) - положительно определенная функция, то
все корни уравнения (105.18) чисто мнимые, даже в вырожденном случае
кратных корней. Пусть К, z (при z Ф 0) будет некоторым решением уравнения
(105.17). Пусть z - комплексное сопряженное z, a z* - транспозиция z (т.
е. это матрица в одну строку). Тогда имеет место соотношение
~z+Hz = - hz+Tz. (105.46)
Из положительной определенности функции Н следует, что левая часть -
действительная и положительная. Поэтому к ф 0 (не нулевые корни) и
z*Yz Ф 0. (105.47)
Легко видеть, что эта величина должна быть чисто мнимой и отсюда к тоже
чисто мнимое.
Мы получили следующий результат: deuMeuue системы, имеющей oduopoduuU
KeadpamuumiU гамильтониан Н, устойчиво, если Н положительно onpedeлeннaя
функция*).
§ 106. Возмущения. Рассмотрим две динамические системы, S и S',
с каноническими переменными (q, р)
и (q', р') и гамильтонианами Н (q, t, р) и Н' (q',
t, р').
!) Мы доказали это только для невырожденного случая различных собственных
значений; о вырожденном случае см. предыдущее примечание.
25 Дж. Л. Синг
386
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
irji. Vlii
Они совершенно независимы, их уравнения движения можно написать в
следующей форме (опуская при этом индексы):
е • дН
S: ? = -г-> Р =
др
Ч =
дН'
др'
Р =
дН . dq дН' dq'
(106.1)
Представим теперь, что S и S' образуют как бы одну систему S -f S' с
гамильтонианом
Н (q, t, р) + Н' (q', t, р') + К (q, q', t, р, р'), (106.2)
где К есть гамильтониан взаимодействия. В качестве очень простого примера
можно взять за S и S' две свободные частицы; тогда К - потенциал,
возникающий вследствие их взаимного гравитационного притяжения. Уравнения
движения системы S + S' имеют вид
. дН ¦
q = -- + др
дН' др'
+
дК . _ дН дК '
др Р dq dq '
дК д!Г т-i дК |
др' ' dq dq j
(106.3)
Действие гамильтониана взаимодействия К возмущает исходные движения
(106.1) систем S и S'. Если производные
от К малы, то величины q,p, q',p' в данной точке пространства QTP системы
S + S' для возмущенного и невозмущенного движений мало отличаются друг от
друга. Однако за очень долгое время в движении могут накопиться
существенные изменения; в этом случае говорят о вековых изменениях.
Для системы, образованной Солнцем и планетами, гамильтониан можно
написать в форме
Я = Т (S) + 2 Т (Р) + 2 V (SP) + .2 V (РР'), (106.4)
где Т (S) - кинетическая энергия Солнца, Т (Р) - кинетическая энергия
планеты, V (SP) - взаимная потен-
§ 106]
ЬОЗМУЩЕНЙЯ
