Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
402
ПРОСТРАНСТВО - ВРЕМЯ МИНКОВСКОГО [ГЛ. I
его значение не зависит от выбора параметра %. Первая форма принципа
Гамильтона имеет вид (ср. с (65.4))
для фиксированных концевых событий. Это уравнение приводит к следующим
уравнениям движения Лагранжа:
тождественно совпадающим с (65.7).
Итак, имеем релятивистскую динамику, основанную на выбранном лагранжиане.
Релятивизм проявляется только в требовании, что лагранжиан должен быть
инвариантным относительно преобразований Лоренца.
Можно также построить релятивистскую динамику на гамильтониане. Пусть ут-
гамильтонов 4-вектор1), соотнесенный событию хг. Определим в пространстве
- времени гамильтоново действие вдоль какой-нибудь кривой интегралом
(68.1) (изменив при этом знак)2)
есть инвариантное уравнение энергии. Принцип Гамильтона во второй форме
имеет вид (ср. (68.5))
0 Есть риск внести путаницу в терминологию, называя уг 4-вектором
импульса - энергии, потому что такой термин включает в себя действие,
оказываемое полем на частицу (ср. (115.9)). По аналогии с оптикой
Гамильтона ут можно назвать 4-вектором медленности. Ср. Synge J. L.,
Geometrical Mechanics and de Broglie Waves, стр. 8. Cambridge, University
Press, 1954.
2) Желательно условиться, что действие положительно, когда ут и dxr оба
времениподобные векторы, направленные в будущее; тогда имеем ут dxr <0 и
поэтому в определение (110.4) вносится знак минус. См. также § 111.
б ^ A (х, х) d% = 0,
(110.2)
d дА дА
d% дх'г дхт
(110.3)
(110.4)
Пусть
?2 (х, у) = 0
(110.5)
б ^ yr dxT = 0, ?2 (х, у) - 0. (110.6)
S ИО] ЛАГРАНЖЕВА И ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКИ
403
Он приводит к каноническим уравнениям Гамильтона в форме
dxr d?2 dyr Э?2
dw дут dw дхт
(110.7)
где w - специальный параметр. Пусть дано начальное событие хг и начальный
гамильтонов 4-вектор уг, удовлетворяющий условию (110.5); тогда уравнения
(110.7) определяют мировую линию и поле векторов ут вдоль нее. Это
устанавливает гамильтонову динамику, основанную на выбранном уравнении
энергии. Релятивизм требует инвариантности этого уравнения относительно
преобразований Лоренца.
Итак, имеются три различных пути для построения релятивистской динамики.
Первый связан с 4-силой (§ 109); второй - с выбором однородного
лагранжиана А (х, х') и третий - с выбором уравнения энергии ?2 (х, у) =
0.
Как ив § 69, мы объединяем эти два последние пути. Изменяя знак
соответственно сделанному изменению в (110.4), переходим от А (х, х') к
?2 (х, у) = 0, положив
Vr = -^T (110.8)
ахт
(ср. с (69.3)) и исключив производные хг. Мы можем перейти также от ?2
(х, у) - 0 к А(х, х'), написав (ср. с (69.14))
хт = д ^ , А = - утх'г, ?2 (х, у) = 0, (110.9)
дуг
и исключив из. этих уравнений ут и $. При таком объединении лагранжева и
гамильтонова динамики представляют одно и то же, с общим для обеих форм
динамики действием
А = ^ A (х, х) d% = - ^ yr dxT. (110.10)
В лагранжевой динамике имеются два важных специальных случая выбора
параметра %, а именно, % = s и % = t. Первый, будучи лоренц-инвариантным,
удобен
26*
404 ПРОСТРАНСТВО - ВРЕМЯ МИНКОВСКОГО [ГЛ. I
для общей теории; второй - удобен для того, чтобы провести сравнение
между релятивистской и ньютоновой динамиками.
Если % - s, то
Л (х, х) d% = А (х, dx) = А (х, X) ds, (110.11)
где к? = dxr/ds 4-скорость. Действие равно интегралу
А = ^ Л (х, к) ds, (110.12)
и уравнения Лагранжа принимают вид
±дА^_ дА = 0, (110.13)
ds дХт дхт
при специальном условии
КК = - 1. (110.14)
Здесь необходимо сделать некоторые замечания. Выполняя первое
дифференцирование в уравнениях (110.13), мы должны взять А в форме
однородного лагранжиана первой степени относительно 4-скорости. Если мы в
какой-либо момент упростим А посредством (110.14), нарушив формальную
однородность, то для того, чтобы восстановить однородность (имевшую место
до дифференцирования), мы должны опять применить то же уравнение.
Если х = t, то можно написать
A (х, х') d% = А (х, dx) = L dt. (110.15) Обыкновенный лагранжиан L,
определенный таким образом, есть функция семи величин хр, t, хр. Действие
определяется следующим интегралом:
А = dt, (110.16)
и уравнения Лагранжа имеют знакомую форму:
^р-]Г = 0' (1Ю.17)
dt охр дхр
Отметим, что релятивистское требование состоит в лоренц-инвариантности L
dt, но не самой функции L\ L есть
§ 110] ЛАГРАНЖЕВА И ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКИ 405
инвариант, разделенный на четвертую компоненту 4-вектора. Это любопытное
требование выполняется автоматически, если мы выводим L из инвариантного
однородного лагранжиана (как в уравнениях (110.15)).
В методе Гамильтона можно разрешить уравнение Q (х, у) = 0 относительно
г/4, получив
р4 - ico (хи х2, x3t t, уи у2, у3) = 0 (110.18)
(четвертая компонента вектора Минковского г/4 - чисто мнимая). Определим
рр и Н уравнениями
рр = рр, Н = - ; (110.19)
i
тогда выражение (110.18) приводит к гамильтониану Н = с со (хи х2, х3, t,
pi, р2, рз). (110.20)
Трудно подыскать какое-либо непретенциозное и недвусмысленное название
