Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
иметь место два случая: можно взять
Ill]
СВОБОДНАЯ ЧАСТИЦА
409
диагональную форму в виде
te(tm)) = (+i, +1, +1, -1), (111.16)
или в виде
(gm") = (-l, -1, -1, +!)• (И1.17)
Некоторые авторы предпочитают первую форму, другие - вторую. Между ними
нет никакой физической разницы, однако (111.16) имеет то преимущество,
что можно перейти к единичной матрице (координаты Минковского) при помощи
введения одной мнимой координаты, в то время как в случае (111.17) для
этого требуются три мнимые координаты. С помощью действительных координат
и величин gmn и gmn, определенных как указано выше, можно написать
лагранжиан (111.1) в форме
Л (х, х) - тс У- grsxr xs' = тс У g^x7'Xs' ; (111.18)
частное дифференцирование дает в обоих случаях один и тот же
ковариантный^'вектор:
: = - тс ~^rsX- = тс ¦ &rsX .
Vgmnx(tm)'xn' (111Л9)
Этот единственный ковариантный вектор дает два (противоположных)
контравариантных вектора в зависимости от того, какую из групп уравнений
мы используем:
(111.6) или (111.7); это соответственно векторы
дА __ тех7' ^
dxS У_ gmnX- X
-rs дА _ тех' ё
m'"п' |
\ (111.20)
Vgmnxm'xn' ' j
Первый из них направлен в прошлое, второй - в будущее. Итак, имеются два
возможных определения ковариантного гамильтонова 4-вектора, а именно, уг
= = ± ЪА/Ьз?'. Удобно выбрать тот знак, при котором соответствующий
контравариантный 4-вектор направлен в будущее, по крайней мере в случае
свободой частицы.
410
ПРОСТРАНСТВО - ВРЕМЯ минковского
[ГЛ. I
Таким образом, нам нужны два различных определения ут:
Уг = --Р^ для (111.16), (111.21)
дх
УГ=9А Д(tm) (111.17). (111.22)
дх
В координатах Минковского мы не должны делать различия между
ковариантными и контравариантными векторами. Мы уже видели, что (111.21)
- удовлетворительное определение, так как (111.7) показывает, что вектор
уг, определенный таким образом, направлен в будущее.
§ 112. Двухточечная характеристическая функция
в пространстве событий и уравнение Гамильтона-Якоби. Обозначим через S
(х*, х) характеристическую функцию, зависящую от координат двух точек в
пространстве событий QTP. Это - функция (72.1), взятая с обратным знаком,
S (х*, х) = - jj ут dxr\ (112.1)
интеграл берется вдоль траектории, соединяющей два события. Отсюда имеют
место уравнения
dS * dS лмо 04
Ут~ дхт' Уг~дх*' (112'2)
Если подставить эти значения уг, у* в уравнение энергии Q (х, у) =
0, то получим уравнение Гамильтона - Якоби:
а(х--§)=°- <И2-3>
В данном случае, аналогично § 77, если мы имеем полный интеграл S (х*, х)
уравнения (112.3), то уравнения
(112.2) определяют траектории и соотнесенные им гамильтоновы 4-
векторы. Величины (х*, у*) в этих уравнениях можно рассматривать как
постоянные. На самом деле необходимо только шесть постоянных, так как
имеется оов траекторий. Если одна из х* берется как аддитивная
§ 112] ДВУХТОЧЕЧНАЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 411
постоянная для S, а другие три величины х* и первые три из величин у*
выбраны произвольно, то первые три уравнения второй группы уравнений
(112.2) определяют траекторию (в действительности все траектории, так как
в уравнения входят шесть произвольных постоянных).
Для свободной частицы (§ 111) имеем следующую функцию:
S (х*, х) = - ут (;хг - Хр), (112.4)
где ут - постоянна вдоль траектории. Полагая
s = V- (хт - х*т) (хт - Хг), (112.5)
имеем аналогично уравнению (111.7)
* me (,xr xr) .i,n п\
уг = тсК = ---------------1, (112.6)
s
а отсюда
S (х*, х) = тс V- (хТ - Хг) (хт - х*) = mcs. (112.7)
ГЛАВА II
НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ
§ 113. Гиперболическое движение. В ньютоновой динамике можно задать
движение частицы и вычислить силу, которая вызывает это движение.
Аналогично в теории
относительности можно задать мировую линию и вычислить соответствующую 4-
силу, согласующуюся с заданной постоянной собственной массой частицы; для
этого надо использовать формулу
dkr
Хг
т
ds
(113.1)
Одна из простейших мировых линий есть псевдоокружность, уравнения которой
2
XI
2
Xi
а\
х2 = Х3 = О,
(113.2)
где а - постоянная. Так как первое уравнение в действительных координатах
имеет вид
Рис. 52. Гиперболическое движение.
' 2.2 "2 с I = а ,
(113.3)
то это движение называется гиперболическим (рис. 52).
§ i i 4j Частица в потенциальном поле 413
Параметрические уравнения мировой линии таковы:
Xi= a ch ф, хк = ia sh ф, (113.4)
отсюда
ds2 = - dx 1 - dx\ - a2 dtp2, (11 .5)*
так что отличные от нуля компоненты 4-скорости равны
= YEl = sh ф, ?"4 = - = i ch ф. (113.6)
ds ds
Согласно уравнениям (113.1) искомая 4-сила есть
" т , тх 1
Xi = - ch ф = -5-
а а
" im , тх4
Х4 = - sh ф =
а а
х2 = х3 - о.
Таким образом, 4-сила направлена от начала координат пространства -
времени и имеет величину, пропорциональную расстоянию Минковского.
§ 114. Частица в потенциальном поле. Гармонический осциллятор. Пусть V
(a:i, х2, х3) - потенциальная функция, и пусть
Л (х, х') = тс V - х'Тх'Т - ~YXi (114.1)
с
- однородный лагранжиан для частицы постоянной собственной массы т,
