Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
или D < 0 непосредственно применимы как критерий расходимости или
сходимости лишь в случае диаграмм наинизшего порядка, которым
соответствует только одно интегрирование. Если диаграмма содержит п
внутренних линий, то условия D < 0 или Л >0 верны как критерий сходимости
или расходимости только
Фиг. 89.
в том случае, когда результат субынтегрирования по как угодно выбранным п
— 1-му внутреннему 4-импульсу является конечным. Другими словами, если
диаграмма расходится, то расходимость у нее должна возникать только при
последнем интегрировании по 4-импульсу.
Расходящиеся диаграммы, обладающие этим свойством, называют примитивно
расходящимися [194]. Их можно характеризовать как такие, которые приводят
к сходящемуся матричному элементу, если разорвать любую из внутренних
линий диаграммы и заменить ее двумя внешними. Поскольку, по
предположению, интеграл сходится, когда одна из переменных интегрирования
фиксирована, то интеграл будет расходиться, только если степень числителя
4 (Ft Л; — С + 1) не меньше степени знаменателя 2BiArFb т. е. если 4 (Л;
+ Лг— С -|-1)>2 5г F и или, иначе, если D > 0. Отметим, что поскольку в
теории поля со связью без производных размерность D не зависит от С, то
степень расходимости примитивно расходящейся диаграммы там не зависит от
числа вершин у диаграммы. Примитивно расходящиеся диаграммы дают базисные
радиационные поправки, с помощью которых все другие радиационные поправки
можно получить, делая соответствующие вставки.
Теперь мы перечислим эти базисные расходящиеся диаграммы. Уместно
напомнить, что фермионная линия никогда не кончается, а поэтому число Fe
всегда должно быть четным.
§ 1. Примитивно расходящиеся диаграммы
555
Случай Fe = 0, Бе = О
Этим значениям соответствует диаграмма фиг. 90, приводящая к вакуумному
собственно-энергетическому эффекту. Матричный элемент, соответствующий
этой диаграмме, квадратично расходится. Однако, как
мы уже указывали, такие вакуумно-вакуумные диаграммы не должны
рассматриваться, и при дальнейшем рассмотрении они будут опускаться.
Случай Fe = 2, Ве = 0
Единственная примитивно расходящаяся фермионная собственноэнергетическая
диаграмма показана на фиг. 91,а. Разумеется, существуют и другие
(непримитивно расходящиеся) собственно-энергетические диаграммы с более
чем одним виртуальным бозоном, например диаграмма
, \ / s \ '
> i -----------4 >-------- --------->—*—i-------------------------------
--1-4——>
Фиг. 91.
фиг. 91, б. По формуле (16.5) определяем, что диаграмме фиг. 91, а
соответствует размерность D = 1, и, следовательно, возможна линейная
расходимость. Б действительности, как мы уже видели в § 1 гл. 15,
расходимость только логарифмическая, соответствующая D = 0. Как правило,
если размерность D нечетна, то на деле реализуется расходимость ближайшей
более низкой четной степени.
Случай Fe = 0, Ве = 2
Этим значениям соответствует бозонная собственная энергия (фиг. 92),
которая обсуждалась в § 5 и 8 гл. 15. По формуле (16.5) находим, что D =
2. И в самом деле, в мезонной теории осуществляется эта квадратич-
ная расходимость. Однако в электродинамике, как мы уже видели, благодаря
калибровочной инвариантности расходимость всего лишь логарифмическая.
556
Гл. 16. Количественная теория перенормировок
Случай Fe = 2, Ве = 1
Вершинная диаграмма, изображенная на фиг. 93, а, является простейшим
примером диаграмм этого типа. В данном случае D = 0 и, в принципе,
возможна логарифмическая расходимость. Вместе с тем в гл. 15 было
показано, что в случае электромагнитного поля и в случае нейтрального
псевдоскалярного мезонного поля эти расходимости компенсируются
расходимостями, соответствующими двум собственно-энергетическим
Фиг. 93.
диаграммам. В других случаях эта диаграмма может приводить к реальной
логарифмической расходимости. Более сложные типы примитивно расходящихся
вершинных диаграмм показаны на фиг. 93,6, в. Они будут обсуждаться в § 2.
Случай Fe = 0, Ве = 3
В этом случае D = 1, так что возможна линейная расходимость. Типичная
диаграмма изображена на фиг. 94, а. По очевидной причине ее часто
называют треугольной диаграммой. Возможны многочисленные
Фиг. 94.
варианты этой диаграммы в зависимости от конкретной природы фермион-ного
треугольника и бозонных линий, присоединяющихся в вершинах. Сперва
обсудим те случаи, когда фермионное поле взаимодействует только с одним
бозонным полем, и в первую очередь с электромагнитным, т. е. рассмотрим
две диаграммы фиг. 94. При вычислении оказывается, что интеграл не только
не расходится, но равен нулю. Это в более общей фор-
§ 1. Примитивно расходящиеся диаграммы
557
ме повторяет ситуацию, которая уже встречалась в § 3 гл. 14 для внешнего
поля1). Обращение матричного элемента в нуль можно понять на основе
инвариантности квантовой электродинамики относительно операции зарядового
сопряжения. Качественно этот факт обосновывается следующим образом.
Фермионная линия представляет позитроны и электроны. Предположим, что
