Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
матричный элемент с одним каким-то выбором знака заряда соответствует
фиг. 94, а. На второй диаграмме (фиг. 94, б) направление обхода
электронного контура обращено. Для получения полного вклада в ^-матрицу
вклады, соответствующие фиг. 94, а и б, нужно сложить. Так, если
соответствующие матричные элементы обозначить Ма и Мб, то нужно вычислить
Ма -f- Мб. Однако обращение
направления обхода заряженного фермионного контура означает просто
изменение знака заряда. Поэтому матричный элемент Мб отличается от
матричного элемента Ма только множителем (—I)3 = —1. Отсюда Ма -f- Мб =
0. Более общо: в электродинамике любой замкнутый электронный полигон
(замкнутый контур), имеющий нечетное число вершин, дает нулевой вклад.
Эта теорема впервые была сформулирована и доказана Фарри [291 ].
Аналогичные соображения показывают, что равей нулю и матричный элемент,
Соответствующий диаграмме, приведенной на фиг. 95 (Fe = 0, Ве = 1). Если
бы не было теоремы Фарри (а также сохранения момента количества
движения), то эта диаграмма приводила бы к кубично расходящемуся
интегралу, поскольку D — 3.
Пусть со спинорным полем по-прежнему взаимодействует только одно бозонное
поле, но пусть теперь оно будет псевдоскалярным мезон-ным полем.
Диаграммы фиг. 94 снова дают нулевой вклад, что обусловлено природой
оператора взаимодействия ys [689, 690]. Это можно показать следующим
образом. Пусть импульсы трех виртуальных фермионов рав.ны pt, р2 и р3.
Тогда матричный элемент пропорционален выражению
У'Р1 — М У'Pi—м У'Рз — М ’’ (16.6)
После рационализации знаменателя и с учетом того, что матрица у 5
антикоммутирует со всеми матрицами уц> входящими в у-p, преобразуем
числитель выражения (16.6) к виду
— Уз(у-Р1 + М)(—У-Р2 + М)(у.р3 + М). (16.7)
Далее, для получения элемента 5-матрицы мы должны вычислить след
выражения (16.6), так как импульсы и спиновые переменные виртуальных
фермионов принимают все возможные значения. С этой целью напомним, ЧТО
Sp (Yu) = SP YbYs = Sp YsYhYv = Sp y5 = 0, (16.8)
9 Однако сейчас вклады отдельных диаграмм не равны нулю. В случае
внешнего поля они обращались в нуль благодаря интегрированию по внешним
полям, действующим в трех вершинах.
558
Гл. 16. Количественная теория перенормировок
ПОСКОЛЬКУ Y5YjiYv — —2 8MvpaYPYa- Аналогично,
ра
Sp (YsYhYvYp) = - Sp (YhYvYpYs) = - Sp (YsYnYvYp) = 0. (16.9)
Таким образом, в действительности след матрицы (16.7) равен нулю, и
треугольная диаграмма в псевдоскалярной теории вклада не дает1). Этот
результат имеет следующее непосредственное обобщение: тяжелый
псевдоскалярный мезон не может распадаться на два (или вообще на четное
число) более легких псевдоскалярных мезонов.
Далее мы рассмотрим случай, когда бозонное поле есть скалярное мезонное
поле. В этом случае в каждой из трех вершин стоит множитель
Ф и г. 96.
Г’= 1, а! для числителя теперь вместо (16.7) получается выражение
(y-Pi + М) (у-р2 + М) (у-рз + М). (16.10)
При вычислении следа выражения (16.10) члены, содержащие одну или три
матрицы у, обращаются в нуль, но члены без матриц у или с двумя такими
матрицами отличны от нуля. Поэтому в данном случае матричный элемент не
будет равен нулю. Поскольку размерность D нечетная, то мы найдем, что в
действительности расходимость будет логарифмической, т. е. будет
соответствовать значению/) =0, а но максимальному значению D = 1.
Добавление в лагранжиан коптрчлена аср3 (с бесконечным коэффициентом а)
позволяет скомпенсировать эту расходимость.
Пусть теперь имеются два различных бозонных поля. Пусть, например, в двух
вершинах происходит взаимодействие с фотонами и в одной с мезоном, как
показано на фиг. 96. Эта диаграмма описывает в наи.низ-шем порядке распад
нейтрального мезона на два фотона (см. работы Янга [869], Штейнбергера
[739]). В этом случае константа связи е входит только в квадрате, т. е.
четное число раз, и поэтому теорема зарядового сопряжения Фарри не
вынуждает матричный элемент обратиться в нуль. Кроме того, неприменимы
более аргументы об обращении следа в нуль
х) В псевдоскалярной теории эту теорему для замкнутого контура с любым
нечетным числом вершин можно доказать, если воспользоваться
инвариантностью б’-матрицы относительно пространственных отражений. Общие
правила отбора, которые являются следствиями теорем, аналогичных теореме
Фарри, для процессов с участием мезонов и нуклонов сы. у Фукуды, Хайакавы
и Миямото [287, 288], Пайса и Поста [612], а также у Вольфенштейна и
Равенхолла [866].
§ 1. Примитивно расходящиеся диаграммы
559;
ни при Г == Y5> ни ПРИ Г = 1. В самом деле, матричный элемент теперь
пропорционален выражению
Если Г = 1, то будут отличны от нуля члены с четным числом матриц у.
Пусть Г = у5. Остальных множителей, содержащих матрицы у, имеется больше
четырех, и, следовательно, можно составить второй множитель у5, что дает
у;? = — 1. Поэтому и в псевдоскалярном случае также получается ненулевой
результат.
Если начальный мезон на фиг. 96 скалярный, то разумное использование
