Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Швебер С. -> "Введение в релятивистскую квантовую теорию поля" -> 239

Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.

Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля — Иностранная литература, 2003. — 859 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievrelyativnuu2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 233 234 235 236 237 238 < 239 > 240 241 242 243 244 245 .. 373 >> Следующая

преобразованием достигается то преимущество, что в результате все четыре
компоненты становятся равноправными. Так, если положить р) — ip), где
переменная р) — действительная, то обычные (рационализованные1))
знаменатели принимают вид
p.p-m2^p2-m* = pl- р\ — р\ — р\ — пь2, —
= ~-(р1 + р1+р1+р1+™2). ' (16.1)
Они, таким образом, отрицательно определены, и интегрирование ведется по
евклидову четырехмерному р-пространству.
После того как интеграл, соответствующий какой-либо диаграмме Фейнмана,
преобразован указанным образом, исследование интеграла и оценка степени
его расходимости становится более легкой задачей. Если степень импульсов
в числителе ниже степени импульсов в знаменателе, интеграл будет
сходящимся. С другой стороны, если степень импульсов в числителе выше или
равна степени импульсов в знаменателе, то интеграл может расходиться, но
не с необходимостью во всех случаях. Определим «размерность» интеграла
как разность между полной степенью импульсов в числителе подынтегрального
выражения и степенью импульсов в знаменателе. Обозначим размерность через
D. Тогда достаточное условие сходимости запишется D < 0, а условие, при
котором возможны расходимости, будет гласить D > 0.
Прежде рассмотрим взаимодействие спинорного поля с бозонным за счет
простейшей связи без производных <554 = G : ф(а;) ГЧ|з(а;) : ф(я).‘ Связи
с производными мы вкратце обсудим позднее. Наше предварительное
обсуждение прямых взаимодействий показало, что в каждой «вершине» любой
диаграммы сходятся две фермионные и одна бозонная линии. Для
характеристики диаграмм примем следующие обозначения:
F — число фермионных линий,
В — число бозонных линий,
С — число вершин,
х) Т. е. знаменатели, освобожденные от матриц.— Прим. ред.
§ 1. Примитивно расходящиеся диаграммы
553
Fe — число внешних фермионных линий,
Ве — число внешних бозонных линий,
Fi — число внутренних фермионных линий,
Bi — число внутренних бозонных линий.
Задавая число и тип внешних линий, мы конкретизируем процесс, а задавая
числа Ft и Bh определяем приближение, в котором вычисляется процесс, но
при этом еще остается свобода в выборе частного расположения внутренних
линий.
Далее, при прямой связи оператор Г (Г = у^, у5 или I) не содержит
импульсов участвующих частиц. Внешние линии также не влияют на
сходимость, так как по ним интегрирование не проводится. Степень
импульсов в числителе и знаменателе подсчитывается следующим образом:
1. Каждой внутренней фермионной или бозонной линии в числителе
соответствует множитель сВр. Это дает в D вклад, равный 4 (F; -ф Ь’,).
2. В каждой вершине после интегрирования по всему пространству-времени
возникает четырехмерная 6-функция. Наличие этой 6-функции эквивалентно
добавлению в знаменатель четвертой степени импульса. Вспомним, однако,
что одна из этих 6-функций выражает закон сохранения полного 4-импульса,
т. е. неизменность его при переходе из начального в конечное состояние, и
поэтому не приводит к уменьшению размерности подынтегрального выражения.
Таким образом, вклад вершин в D равен —4 (С — 1).
3. Каждая внутренняя фермионная линия вносит в знаменатель первую степень
импульса, поскольку ей соответствует функция распростра-
нения р_т ? Это дает вклад в D, равный —Ft.
4. Каждая внутренняя бозонная линия вносит в знаменатель вторую степень
импульса, поскольку ей соответствует функция распространения
I
—-2*. Этим в D вносится вклад, равный —2Bt. Итак, размерность D
Р ^
дается выражением
D = 3Fi + 2Bi-A(C-l). (16.2)
Эту величину можно выразить через число внешних линий, если
учесть, что число вершин связано и с числом фермионных и
с числом
бозонных линий. Так, в каждой вершине сходятся две фермионные линии, и
поэтому число концов фермионных линий равно удвоенному числу вершин. Но у
каждой внутренней фермионной линии два конца, а у каждой внешней — один,
следовательно,
2Fi-\-Fe = 2C. (16.3)
Аналогично, в каждой вершине оканчивается одна бозонная линия, и поэтому
число концов бозонных линий равно С:
2 Bi + Be = C. (16.4)
Подставляя Ft и Bt из соотношений (16.3) и (16.4) в (16.2), получаем
П = 4—^-Fe — Be. (16.5)
Анализ изложенного выше способа оценки порядка расходимостей интегралов
(путем подсчета степеней) показывает, что, вообще говоря, он
554
Гл. 1В. Количественная теория перенормировок
применим только к матричным элементам с интегрированием по одному 4-
импульсу. В случае интеграла большей кратности подсчет степеней не
является достаточным для выяснения, сходится матричный элемент или
расходится. Не всегда верно, что вклад вершин в D равен —4(С — 1). Далее,
при интегрировании по нескольким 4-импульсам может случиться, что при
фиксировании одной или более переменных интегрирования (т. е. внутренних
4-импульсов) остающийся интеграл меньшей кратности окажется расходящимся.
В этом можно убедиться, сравнивая диаграммы на фиг. 89. Для обеих
диаграмм D = —1, так как они имеют одинаковое число внешних линий.
Однако, как известно, диаграмма б расходится. Поэтому неравенства Л > 0
Предыдущая << 1 .. 233 234 235 236 237 238 < 239 > 240 241 242 243 244 245 .. 373 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed