Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
вершинной части в диаграмму низшего порядка (а на фиг. 86). Анализ, такой
же как и в случае квантовой электродинамики, показывает, что матричный
элемент Т^ получается из матричного элемента Т(а) путем замены матрицы
у5тг между нуклонными спинорами с импульсами р2 и pt на
iG2 ? 1 _ 1 dH ,лс.
тА’5 —> (2л)! ] Уу.(р2_1)—м Уъ 1 y.(pi — i) — M ’Y5T-7' z-i — JJ.2 •
(15.217)
Так как т/ггт^= — тг, то это равносильно замене уь на A™ (pz, Pi), причем
А (2) /_ „ \ С rjil fv* ( /)2~тО~^^]'У sfY’ ( Pi'cl)-'-M] ,.г
Г)ХП\
Ab (Рг, Pi) (2л)! i [(P2 — l)2-M2} [(Pi—l)2—M2] [I2—p2] •
Оператор A)2* (pz, Pi) логарифмически расходится. Если учесть, что он.
стоит между двумя спинорами свободных частиц и (р2) и и (р4), то его
можно упростить, так как можно положить y-pi = M, у-р2 = М. Интересующая
нас величина дается выражением
л‘2)(р2, рО| =(2й)5^5 S • (15-219>
Y*Pi=ЛГ
Эта величина релятивистски инвариантна и, следовательно, может быть
функцией только от р\, р\ и (р4—р2)2. Так как р, и р2 суть импульсы
свободных частиц (р\ = р\ = М2), то Л5 является функцией только от
(Pi - Рг)2: Л«> (ри Pi) = Л® [(pi - р2)2J?
Из того, что интеграл (15.219) расходится только логарифмически, следует,
что для выделения его коночной части достаточно одного вычитания. Поэтому
если записать
[ЛГ ((Рг - Pi)2) = Л«> (р2) -f А?С ({Р2 - Pi)2), (15.220)
то АЧс является конечной величиной, а Л)2) (р2) = Суъ, где С —
логарифмически расходящаяся константа'). Структура этого расходящегося
члена снова оказывается такой, что он может быть объединен с матричным
элементом низшего порядка, и переопределение константы связи впитает в
себя расходимость. Аналогично, вклад от диаграммы г на фиг. 86 может быть
получен из вклада от диаграммы а на фиг. 86
путем замены и (pt) множителем J (У' Pi — Му1 2 (р4) и (pi),
где
2(2> (Pi) - G2 ^ ттпъ ti\5 <15'?21)
— логарифмически расходящийся интеграл. Он может быть разложен вблизи у-р
= М следующим образом:
2(2> (р) = Ша) + Вт(у-р-М) + 11{п (р), (15.222)
(2)
где 6М(2> и В(2) — расходящиеся константы, а 2С — конечная величина,
равная нулю при у-р — М. Первый член определяет перенормировку массы и
уничтожается вкладом от члена бМ (г’ на фиг. 86). Вклад от
1) Отметим, что так же можно бы определить конечную часть , вычтя из
Л!,2) ((р2 —Pi)2) величину Л® (0). Это привело бы к другой
перенормированной константе связи.
§ 8. Перенормировка в мезонной теории
547
второго члена соответствует перенормировке волновой функции, в чем можно
убедиться при помощи приема, аналогичного указанному в § 3. [Во всяком
случае, он отличается от матричного элемента Т(а) постоянным
(бесконечным) множителем и поэтому может быть включен в этот матричный
элемент.] Член 2^’ (р) равен пулю при у-р = Л/ и поэтому в настоящем
случае не дает вклада, так как 2С~ (р) действует на и(р).
Диаграммы д н е на фнг. 86 соответствуют процессам рассеяния, в которых
нуклоны обмениваются двумя мезонами. Они конечны и не содержат никаких
радиационных эффектов.
В качестве упражнения читателю рекомендуется провести анализ структуры
этих же диаграмм в случае PS-PV-теории, т. е. псевдоска-
р ___
лярной мезонной теории с псевдовекторной связью = ? — : : д^ф.
Здесь мы отметим только, что эти два вида связи дают тождественные
матричные элементы в низшем порядке теории возмущений, если
Доказательство: В Р5-РЕ-теории диаграмме низшего порядка (а на фиг. 86)
соответствует матричный элемент
то матричный элемент Т\% совпадает с Tps > если константы связи
удовлетворяют соотношению (15.223).
В заключение настоящего параграфа мы кратко обсудим вопрос о возможности
использования потенциала для описания взаимодействия между нуклонами, по
крайней мере в перелятивистской области малых энергий. Наиболее очевидный
способ определения потенциала заключается в требовании, чтобы амплитуда
рассеяния, вычисленная из уравнения Шредингера, в которое подставлен этот
потенциал, воспроизводила 5-матрицу теории поля в перелятивистской
области энергий. Если предположить, что взаимодействие между частицами в
перелятивистской области может быть описано уравнением Шредингера с
потенциалом
где приведенная масса М* равна 112М. Тогда в системе центра масс (р4 = —
q4) рассеяние из состояния с относительным импульсом \'2 (Pi —<Ii) = в
состояние с относительным импульсом k2 = 1/2 (р2 — q2) определяется 5-
матрицей1):
G __ F 2 М р
(15.223)
и (р2) Tjyr,y-(P2 — Pi) и (Pi) и (<Гг) ЧУлУ-(<?2 —gj) 11 (4i)
(92 — 7l)2 —
(15.224)
Так как
и(Р2)ЧьЧ-(Р2 — /?1> м (Pi) = — 2Ми(р2) у5гг(Р1), (15.225)
то их относительное движение будет определяться уравнением
(к21 s | к4) = 6(3) (к2 — к4) — 2nid {W2 — Ш4) (к2 [ t \ к4), (15.228)
х) Мы не выписываем спиновых индексов нуклонов.
35*
548
Гл. 15. Квантовая электродинамика
где ТТ = к2/М, (| kt | = | к21 = | к.|). Эта Г-матрица связана с
потенциалом уравнением (11.88), т. е.
(к2|г|к1) = (к2|У(к1)-^А(к2|У|к)-Щ^Д . (15.229)
Рассмотрим решение этого интегрального уравнения только в низшем
