Статическая термодинамика. - Шредингер Э.
ISBN 9-7029-0340-4
Скачать (прямая ссылка):
Сильное вырождение электронного газа при комнатной температуре и даже при высоких температурах, необходимых для эффекта Ричардсона, является следствием совместного действия двух причин: 1) сравнительно высокой плотности электронов примерно такой же,
как и плотность атомов в твердом теле, и 2) их небольшой массы, составляющей примерно 0 j_n массы ядра водорода. Согласно (8.30), это л UUU
приводит к высоким значениям IogC, требуемым для вырождения в случае Ферми.
Макроскопические свойства металлов, обусловленные свойствами электронов — за исключением, как я полагаю, лишь случая диамагнетизма и, может быть, сверхпроводимости, которую мы пока еще не понимаем, — не связаны с теми электронами, которые находятся в Оценка формул. Предельные случаи
79
области плотной упаковки, где они занимают подряд все уровни. Переход на соседний уровень предопределяется здесь принципом Паули; например электрическое поле, приложенное к металлу «слева направо», заставит (отрицательные) электроны предпочесть те уровни, которые обладают импульсом, направленным «справа налево». Выбора нет, «автобус полон» — все места заняты. Таким образом, мы убеждаемся в громадной важности этой «переходной области», в которой числа заполнения ns (8.24') изменяются при возрастании
= Ps ^
2mkT J '
как я указывал, очень резко, тем не менее, непрерывно от единицы до нуля. Эта область расположена по обе стороны от значения х, указанного в (8.27).
Поэтому в рассматриваемом случае требуется лучшее приближение, чем то, которым мы пользовались до сих пор. Хотя я не собираюсь вдаваться в дальнейшие детали теории Зоммерфельда, мне хотелось бы разъяснить математическую сторону вопроса. Возьмем в качестве примера интеграл I2. Интеграл I4 и другие могущие нам встретиться подобные интегралы рассматриваются тем же способом. Основная идея состоит в следующем. В подынтегральном выражении интеграла
OO
I2 = I ж2 dx J IpX2 I 1
О
1
множитель
Г-М=*.)
je* +1
ведет себя так, как показано на рис. 3. До сих пор мы аппроксимировали это выражение ломаной линией, ординаты которой равнялись либо 1, либо 0. Мы продолжаем рассматривать это в качестве первого приближения, однако вводим поправку в окрестности критического значения 80 Глава 2
абсциссы VIogC- Несколько более удобно пользоваться переменной
и = х2, где Mo = IogC (8.32)
является критической абсциссой (и есть, разумеется, энергия). Тогда
1 OO 1 Uo
212 = I = / + / I -±--1+1) U2 du =
J ?U — Uo _j_ 1 J еи-иo+1 J уеи-ио I I
О «О о
1 «о 1 2
"u2eu-uodu 2 3
+ о uO
/и2 du _ I
еи~и° + 1 J
Tl 3"°'
«о О
Последний член является первым приближением интегралом ломаной линии; остальные два члена выражают две «треугольные» площадки, которые следует, соответственно, прибавить и вычесть, чтобы получить истинное значение. Введем в оба интеграла положительную переменную t\ в первый интеграл — посредством подстановки и — щ = = Uot, во второй — посредством подстановки щ—и = uot. Тогда, меняя порядок написания членов, получим:
3 / 00 1 ^
2 2 I f dt y/T+l f dty/T^t
от 2 2^1 f dtyi+t f
2h = r°+u2\J ^TT-J
euot + x O O
Выбирая верхний предел интегрирования в первом интеграле также равным t = 1, допускаем лишь очень малую ошибку (имеющую относительный порядок величины е~и° = І). Теперь мы можем объединить оба интеграла. Пользуясь разложением
VT+t - VT^t = t + ±t3 + -t5 +...,
получаем
з I
or 2„o і и і2 I I tdt .
212 = ^U2 +U0 I I -7 +
eu0t + 1
1 1
(8.33)
о о Оценка формул. Предельные случаи
81
Распространяя верхние пределы интегрирования всех этих интегралов до бесконечности, совершаем столь же малые ошибки, как и только что сделанная. После этого везде вводим переменную интегрирования щЬ, но обозначаем ее по-прежнему через t.
Тогда
I OO
f + Л
3
212 = I Uq +U02
f tdt
і e' + l
5 „ 1-2 Г J*dt_
8 0 J e' + l
+ -^—v 2 + 128
CXJ /
(8.33а)
t5 dt е* + 1
+ ..
Поскольку интегралы являются теперь отвлеченными числами, мы получили разложение по убывающим степеням параметра Mq = (IogC)2, который следует считать достаточно большим (эти же обстоятельства одновременно оправдывают допущенное выше пренебрежение величиной І). Наши интегралы суть простые численные кратные римано-вой ^-функции. Например,
tdt
S
о
OO /
О
OO /
е< + 1
t3dt = Ь^іґШ = 7тг1
e'+l 8 ' 120'
t5 dt = 31 ^ffil =
e' + l 32 252
и, в общем случае,
OO /
^= 1-і W+D.
(8.34)
р — любое натуральное число, не обязательно простое. Для получения выражений, содержащих 7г, пользуемся формулой
С(2р) = 22р-1
T2p
Br,
(2р!)
(8.35)
где Bp — числа Бернулли. 82
Глава 2
І4 и другие подобные интегралы получаются совершенно аналогичным образом. Мы не будем на этом останавливаться.
б) Сильное вырождение в случае Бозе-Эйнштейна. Мы уже указали, что в том случае, когда в выражениях (8.1) и (8.4) выбирается верхний знак, наибольшее допустимое значение ? составляет ? = 1, поскольку подынтегральное выражение, по самому своему смыслу, не может быть отрицательным. Тогда в этом предельном случае из (8.1) получаем:
