Статическая термодинамика. - Шредингер Э.
ISBN 9-7029-0340-4
Скачать (прямая ссылка):
С совершенно новой точкой зрения мы встречаемся в недавней работе Пенга и Борна, ставящей себе целью преодоление значительно более серьезных трудностей, возникающих в теории излучения (и вообще в квантовой теории поля), когда мы переходим от рассмотрения состояния термодинамического равновесия к квантово-механическому исследованию индивидуальных процессов взаимодействия. Сможет ли теория Борна и Пенга действительно преодолеть эти трудности — в настоящий момент еще нельзя сказать. Здесь я хочу лишь кратко показать, как эти авторы подходят к проблеме равновесия.
Борн и Пенг приписывают в своей теории любому из осцилляторов полого пространства (характеризуемому индексом s) две фундаментально различные «ситуации» (я говорю «ситуации» потому, что термин «состояние» уже использован). Осциллятор может быть не возбужден вовсе — когда его энергия равна нулю, либо он может быть 90 Глава 2
возбужден, и тогда его энергия равна одной из энергий (9.5). Во втором случае мы можем сказать, что он «вмещает» 0, 1, 2, 3, ... квантов или «атомов излучения» (мы будем для простоты считать числами заполне-
1 о с
ния осциллятора числа ...). Так же, как и в обычной теории,
число квантов остается неопределенным. Однако число осцилляторов, которые вообще возбуждены, должно быть равно заданному числу, которое мы обозначим через N.
Теория должна быть построена заново; впрочем, она очень проста. Начнем с (7.1), где, как и в (7.4), снова положим
е-"а*=*., л = ^; (7.4)
тогда
Z=Y*? (9-7)
(«»)
Новые предположения сводятся к тому, что каждому ns приписываются значения
Us =0, І, ... , (9.8)
впрочем, с тем добавочным условием, что N, и только N, из всех ns отличны от нуля.
Чтобы ввести это условие, пользуясь, как и в предыдущих случаях, комплексным интегрированием, прежде всего умножим каждую степень z™r (с пг ф 0) на величину ( и затем образуем сумму, не обращая внимания на добавочное условие. В результате получим:
ДО = 11(1 + + CzI +...) = П (1 + & rh^j =
(9.9)
п
! + -T^ =П
V
2 _ _
Zft Zo
1+- с
2 Sh (Щ
\ ЛВ1Ч 2
Наше Z является, очевидно, коэффициентом при (N в /(С)- Следовательно, в результате процесса, который мы уже дважды детально излагали, получим:
IogZ =-(JV+ 1) IogC+ log/(C), (9-Ю) Излучение
91
где С является действительным положительным корнем уравнения
N + I1 /'(С)
о = --
с
/(С)
(9.11)
(в выражении (9.10) опущен некоторый поправочный член, читатель, если захочет, может сам легко убедиться в допустимости этого). Из последнего выражения (9.9) и из (9.11), где мы опускаем несущественную единицу в N + 1, без труда получаем
^ = E
і
(9.12)
Легко догадаться, что означает выражение под знаком суммы: поскольку N есть число возбужденных осцилляторов, это выражение является средним «числом возбуждения» (противопоставляемым среднему числу заполнения ns).
Вычислим оба эти числа, начиная с последнего, поскольку оно нам более знакомо. Рассмотрим статистическую сумму (9.7). Отдельные ее члены являются, как мы знаем, относительными вероятностями различных возможных состояний целого (каждое состояние характеризуется совокупностью чисел ns). Величина ns для данного s находится путем умножения каждого члена на соответствующее число ns суммирования и деления на само Z. Это может быть сделано следующим образом1:
a log Z = і diogz s s dz., M дая
(9.13)
Воспользуемся теперь выражением (9.10) для IogZ. Согласно (9.11) неявное (через посредство Ct) дифференцирование не дает ничего, и из (9.9) имеем:
/
log/(C) = EloS
\
2 sh
( ?aв \ \ 2 )
(9.14)
¦•Это выражение известно из (7.2), и мы можем позаимствовать его оттуда. 92
Глава 2
Следовательно,
Qg Z 1__
h т
_ = _ 1 dlogZ = 1__С I Ch
" 1 +_І_ 2 fahM' 2 2
2 sh (^)
-IcthZia'- 1 I1
(9.15)
Полученное выражение имеет вполне прозрачный смысл, однако мы отложим его обсуждение.
Среднее число возбуждения s-ro осциллятора (обозначим это число через ё8) получается из (9.7) суммированием по всем членам, у которых ns отлично от нуля, и делением на само Z. Так как рассматриваемые члены исчезают в случае zs = 0, а другие остаются неизменными, то мы получаем:
_ _ Z - Zjz8 = 0) _ Zjz8 = 0)
Є.Ч --г . - і г .
Отсюда
Iog(I-S8) = Iog Z(Z8 = O) -logZ. Так как Z8 = 0 означает, что as = оо, то из (9.10) и (9.9) получаем
log(l - es) = - log
/ \
(9.16)
ё = 1--і-= --I—-. (9.17)
_ fsh(^)
Действительно, это выражение и есть выражение, стоящее под знаком суммы в (9.12); оно же является первым множителем в (9.15).
Обсуждение этих результатов не представляет трудности. Числа возбуждения образуют нечто, весьма похожее на распределение Ферми, Излучение
93
с той лишь малосущественной разницей, что вместо e?a' стоит 2 sh •
Если мы хотим, чтобы (9.15) представляло виртуально формулу Планка, то Hs должно быть сильно вырожденным, Т.е. С должно быть очень большим. Согласно (9.12) это имеет место при очень больших N. Тогда ё8 будет очень близко к единице, вплоть до некоторого я (и N), где оно падает до нуля. Выражение (9.15), которое мы можем писать в виде
