Статическая термодинамика. - Шредингер Э.
ISBN 9-7029-0340-4
Скачать (прямая ссылка):
І CXD
1 = 4тг(2тку VtI f х2 dx
h3 71 J е®2 - 1
о
Интеграл является отвлеченным числом и, кроме того [см. (8.25)],
[ xI dx . (8.Iq)
J ех - 1 о
CXJ /
X2 dx = y?_ ( J_ J_ J_
4 І з + з з '
сх - 1
о \ 22 З2 42
^?(1)=^2,612.
так что
Удивительно здесь то, что это — наибольшее значение, которое интеграл принимает при С ^ 1. Вспомним, однако, уравнение, выведенное для определения ( из п и других данных. Оно являлось уравнением для минимума в методе наиболее крутого спуска. Этот минимум, несомненно, имелся во всех случаях. Однако мы сталкиваемся с тем фактом, что если при данной температуре в данном объеме число частиц превышает число п, определяемое из (8.16), то С определено быть не может.
Не остается ничего другого, как вернуться к исходной форме уравнения [см. (7.14)]:
8 _ і
11=кТ
С
Отсюда сразу видно, что верхний предел суммы отсутствует. Независимо от того, будет ли первый, наинизший уровень as в точности равен Оценка формул. Предельные случаи 83
нулю (как мы принимаем) или нет, первый член суммы может быть сделан сколь угодно большим, без того, чтобы какой-либо член становился отрицательным при приближении снизу к значению e?ols (при этом безразлично, будет последнее в точности равно или немного больше единицы).
Чтобы не запутывать вопрос, положим ао = 0 и e?a° = 1, хотя это не имеет особенного смысла и не совсем правильно с точки зрения квантовой механики. Полагая ( очень близким к 1, а именно, считая, что
і -I
С = 1 - J-, при п 3 < ? < 1, (8.36)
мы можем расположить на наинизшем уровне любую значительную
долю, например ?n общего числа частиц. (В случае, если первые 2, 5
или 20 уровней в точности одинаковы — вырождены, — следует ввести
небольшое видоизменение; оно достаточно просто, и мы предоставляем
произвести его самому читателю.)
Что же можно сказать о следующем члене суммы? Для наинизших
і
уровней произведение импульса1 р и размеров сосуда V3 равно, по порядку величины,
Ilг
„уз ^ А Р 2тг'
откуда энергия
P2 Ъ2 --а = — ~ —-—V 3; (8.37і)
2т Ътг2т ' 1 J
таков же порядок величины и наинизших ступеней энергии, т.е. разностей между соседними а в наинизшей области. Таким образом, для члена, следующего за ао, получаем:
ь.2 2
OL h
иа = -T7= ~ —--V •>.
И кТ 8тг 2гпкТ
Эта величина все еще очень мала, однако имеет порядок не n-1, а _2
лишь п 3, как можно видеть из выражения (8.1), остающегося справедливым по порядку величины. Тогда из (7.14) и (8.36) мы можем уже
1He следует смешивать встречающуюся в следующих строках величину р с дав-
лением. 84
Глава 2
уверенно ПОЛОЖИТЬ В ЭТОМ члене C = I; что приведет к числу заполне-
2
ния, имеющему порядок Jl3 .
Будучи большим, это число составляет все же лишь бесконечно малую часть п (ср. с первым числом заполнения ?n, которое может составлять значительную долю п). Следующие числа заполнения будут еще меньшими, так как они убывают монотонно. Пропуская следующие 50 или 1000 чисел заполнения, мы вскоре достигаем области, где относительное изменение при переходе от уровня к уровню столь мало, что аппроксимация интегралом делается вполне оправданной (дей-
4жУ 2 і
ствительно, наше «подсчитывающее» выражение —т-р ар не является
Rs
справедливым в наинизшей области, в которой, впрочем, нас интересует лишь самый низкий уровень или уровни). В интеграле же мы, конечно, можем СПОКОЙНО считать C = I-
Одним словом, выражение (8.16) остается справедливым, независимо от того, равно ли число действительно имеющихся частиц значению п, получаемому из (8.16), или же оно превышает эту величину. В «живых», если можно так выразиться, останутся только п частиц, они будут распределены вдоль оси энергии по закону, близкому к закону излучения абсолютно черного тела, в то время как остальная часть, так сказать, «сконденсируется» на наинизшем состоянии (рис. 4).
Если температура поддерживается постоянной, то при сжатии или расширении тело будет вести себя подобно насыщенному пару, соприкасающемуся со своей конденсированной фазой. Термодинамическое состояние (например, давление, плотность энергии) не будет меняться до тех пор, пока все вещество не сконденсируется или не испарится (это означает не то, что наинизшее состояние вовсе перестает быть занятым, а то, что «горб» исчезает).
«Теплота испарения», разумеется, в точности совпадает с энергией и частиц в «живом» состоянии; мы получаем ее из (8.4), полагая C = I:
Y X4 dx
J г2 1
2 U _ 2 о еж - 1
3 пкТ 3 у х2 dx
Рис. 4 Оценка формул. Предельные случаи
85
Интеграл в знаменателе был уже рассмотрен. Интеграл, стоящий в числителе, равен
CXD /
X4 dx _ 3 л/тг I1Ill
~ 2 4 I + 5 5 5
— 1
22 32 42
Следовательно,
2 _U_ = 1,341 SnkT 2,612
= 0,5134.
Мы видим, что энергия в насыщенном бозе-эйнштейновском состоянии лишь немногим превосходит половину классического значения энергии (то же относится и к давлению). Если бы при изотермическом сжатии мы могли достигнуть этого состояния и пройти далее него (что, конечно, неосуществимо вследствие того, что идеальные законы сильно нарушаются влиянием объема частиц и сил взаимодействия), то частицы теряли бы приблизительно половину своей энергии постепенно, вследствие изменения функции распределения, а вторую половину — скачком, вследствие бозе-эйнштейновской конденсации.
