Статическая термодинамика. - Шредингер Э.
ISBN 9-7029-0340-4
Скачать (прямая ссылка):
Если рассматривать ту весьма точную локализацию атомов внутри кристалла, которая достигается с помощью рентгеновских методов (речь идет об измерениях постоянной решетки и так называемых «параметров»), как локализацию индивидуальных атомов, то следует признать, что пределы точности далеко превосходят те пределы, которые ставятся соотношением неопределенностей. Однако мы не имеем права рассматривать эти данные как относящиеся к отдельным атомам. Эти весьма точные измерения межатомных расстояний становятся возможными и целиком определяются лишь тем фактом, что расстояния эти повторяются в кристалле миллионы и миллионы раз, совершенно подобно тому, как расстояния между соседними гребнями волн снова и снова воспроизводятся вдоль направления распространения волны. Я склонен, в самом деле, рассматривать все строение кристаллической решетки как нечто весьма родственное стоячей де-бройлевской волне. По-видимому, решетка и может трактоваться подобным образом; однако такая задача необыкновенно сложна вследствие очень сильного взаимодействия между этими волнами. (При обычном подходе учитывается взаимодействие в виде сил, действующих между частицами, строится кристаллическая решетка, исходя из корпускулярной точки зрения, а затем рассматриваются и квантуются звуковые волны, установившиеся в этой решетке и весьма слабо взаимодействующие друг с другом.) Оценка формул. Предельные случаи
73
Некоторые соотношения, однако, могут быть намечены уже сейчас. Например, вторичные пучки, выявляемые на рентгенограммах, определяются квантами импульса, которые могут быть сообщены световой волне кристаллической решеткой благодаря периодической структуре последней, если рассматривать ее как стоячую волну. (Это не новая математическая теория дифракции рентгеновских лучей, а просто иная интерпретация, допускаемая существующей теорией.)
Вырождение газа как таковое. Количественное изучение отклонений от классических газовых законов, отклонений имеющих место при не очень малых не представляет большого практического интереса, если не считать одного случая электронной теории металлов. Следует, однако, указать вкратце на математические методы решения этой задачи; они очень просты и легко применимы ко всем сколько-нибудь интересным случаям.
Прежде всего имеется случай слабого вырождения — ? мало, но не очень мало; первых отклонений от классических законов следует ожидать при увеличении плотности и понижении температуры. Несмотря на то, что эти отклонения сопровождаются, как я уже отмечал, эффектами также и иного характера, представляет интерес выяснить, какая часть наблюдаемых отклонений может быть объяснена новыми законами идеального газа. Далее имеется случай сильного вырождения, который для случая Ферми полностью покрывает содержание электронной теории металлов (Зоммерфельд, Zs. Phys., 47, 1928). В случае Бозе он связан с явлением «бозе-эйнштейновской конденсации», представляющим, по крайней мере для теории, большой интерес, ибо мы сталкиваемся с совершенно неожиданным скачкообразным изменением статистической суммы, а следовательно, и самой материальной системы; это будет подробно рассмотрено ниже.
Слабое вырождение. Рассматривая уравнения (8.1) и (8.4), содержащие законы в наиболее сжатой форме,
CXD
4тг(2т&)2 hz
з
2 U PV _ 2 " ^
1 =
3 пкТ пкТ 3 00
видим, что нам нужно знать оба интеграла в виде функций от (. Для не 74
Глава 2
слишком больших (фактически для ( <С 1) можно воспользоваться разложением
Ce-
Ie-2 ZF 1 1 T Ce-
- = (е~х (1 ± (е~х + С
2 —2х
±...) (8.24)
и затем проинтегрировать его почленно. Если обозначить его интегралы соответственно через І2 и І4, то
Cl.
3 V 3 3
22 З2 42
Cl.
5 5 5
22 З2 42
(8.25)
Чтобы иметь возможность судить о начале вырождения, следует подставить первый ряд в (8.1), преобразовать его, шаг за шагом, известным способом и получить разложение ? по степеням малого числа
h3
HlJ1 2
з V 4ж(2тк)2
Это разложение следует подставить в (8.4), заменив второй член в последнем степенным рядом
22
(8.26)
полученным из (8.25) делением второго степенного ряда на первый. Детали этого вывода нас здесь не интересуют. С увеличением ( сходимость ухудшается, однако продолжает иметь место вплоть до ( = 1. (Кстати, для C=I Ряды выражают с точностью до множителей рима-
Ч cS
новы ^-функции с аргументами ^ и Эти функции могут быть взяты из таблиц1.) Так обстоит дело со слабым вырождением.
1Cm., например, Янке-Эмде. Таблицы функции. Харьков-Киев. 1934. Оценка формул. Предельные случаи
75
Среднее вырождение. Этот случай до сих пор не приобрел практического интереса. Математически он характеризуется, естественно, плохой сходимостью обоих рядов, выведенных для случая слабого вырождения, и того ряда, который мы получим для случая сильного вырождения. Я рассматриваю случай среднего вырождения только для того, чтобы указать на небольшое упрощение, которым можно пользоваться при любых C^l-
Можно подумать, что нам следует произвести как в случае Бозе, так и в случае Ферми численную оценку четырех интегралов, а именно, интегралов с X2 и ж4 в виде функции от В действительности, однако, число этих интегралов может быть сведено к двум. Дело не в том, что интеграл с X4 сводится к интегралу с ж2, а в том, что функции Бозе и Ферми могут быть сведены друг к другу, так как
