Статическая термодинамика. - Шредингер Э.
ISBN 9-7029-0340-4
Скачать (прямая ссылка):
1 1 2
откуда
Ie*2 _ і Ie*2 + i Ie2^2 - 1
1 + 1
Ae* + і Ae* _ і ie2* _ !
и, в результате итерации, 1 1
+ ^-"-+ ^-2-+•••
±ЄХ* - 1 ±ех* + 1 ^e2*2 + 1 ^е4^ + 1
Отсюда легко получить соотношения между интегралами, если ? ^ 1. (При С > 1 интеграл Бозе теряет смысл; см. ниже.)
Сильное вырождение. Здесь мы должны строго различать два случая, ибо крайняя степень вырождения в случае Бозе-Эйнштейна означает нечто совершенно иное, чем в случае Ферми-Дирака. Действительно, поскольку согласно (8.1) интеграл выражает число частиц [см. (8.6)], подынтегральное выражение не может быть отрицательным. Поэтому, беря это выражение с верхним знаком (Бозе-Эйнштейн), мы должны иметь С ^ 1, и крайнее вырождение в случае Эйнштейна характеризуется, таким образом, значением C=I- Мы рассмотрим этот случай во вторую очередь. Если мы берем нижний знак (Ферми-Дирак), то С может превышать единицу. Крайнее вырождение в случае Ферми характеризуется условием С —^ сю. 76
Глава 2
а) Сильное вырождение в случае Ферми-Дирака. (Повсюду берется нижний знак.) Первое приближение для очень больших ( может быть получено без труда, так как характеристический множитель подынтегрального выражения, а именно дробь
1
С
+ 1
(8.24')
являющаяся, как мы помним, средним числом заполнения уровня а8
о _ as P2s
(при X2 = -^ =
кТ 2 ткТ
), падает почти сразу от единицы до нуля при 1
том значении х, при котором дробь равна -, т.е. при
X = ViogC
(8.27)
или вблизи этого значения. Наши два интеграла принимают таким образом, значения:
/2 = ^(IogC)2,
I4 = ^(IogC)2,
(8.28)
(8.1) и (8.4) дают:
1 = Wgv ZtII040I
2 _U_ PV_ 2, г SnkT пкТ 5 g^
(8.29)
Из первого выражения:
logC=
Utт) 2mkT\v)
2mkT '
Следовательно, из второго выражения (8.29):
(8.30)
P =
_ 2 с/ _ і (А_у
ЗУ 5 Wtt
(8.31) Оценка формул. Предельные случаи
77
Последнее уравнение содержит полное описание термодинамического поведения газа Ферми в состоянии крайнего вырождения. Наиболее замечательным при этом является то, что из формул исчезает температура. Это — неизбежное следствие теоремы Нернста. Газ ведет себя как «чисто-механическая система», что и должно иметь место, согласно теореме Нернста, для любой системы в пределе при T —> 0. Заметим, кстати, что уравнение состояния, а именно
p{jn) 3 = C0I1St'
в точности совпадает с получаемым в классической теории уравнением адиабаты для идеального одноатомного газа при любой температуре1.
То, что плотность энергии оказывается независящей от температуры и, следовательно, теплоемкость обращается в нуль, является основным достоинством этой теории при объяснении поведения электронов в металле. В течение многих лет оставалась неразрешенной проблема, связанная со следующими обстоятельствами:
1) Высокая электро- и теплопроводность указывает на то, что плотность электронов по порядку величины равна одному свободному электрону на атом.
2) Тем не менее, теплоемкость металлов подчиняется при комнатных температурах закону Дюлонга и Пти без каких-либо признаков участия электронов (что должно было бы увеличить ее значение на 50%, если бы электроны вели себя подобно классическому идеальному газу).
3) Электроны, испускаемые раскаленными металлами в эффекте Ричардсона, имеют строго максвелловское распределение по скоростям, соответствующее данной температуре. Это, казалось бы, говорит в пользу того, что они образуют внутри металла классически идеальный газ; этого же предположения, как казалось, нельзя было избежать для количественного объяснения электро- и теплопроводности металлов, знаменитого отношения между ними и его температурного коэффициента (=
1YpaBHeHHe адиабаты, связывающее р и V, одинаково для всех температур (а также для газов Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака). Это действительно вытекает
о
из dQ = dU + pdV = 0 при pV = ^U. Лишь в случае крайнего вырождения газа Ферми-Дирака это уравнение совпадает с уравнением состояния. 78
Глава 2
Современная теория объясняет все это удовлетворительным образом. Доля, вносимая участием электронов в теплоемкости, сводится к нулю вследствие того, что U не зависит от Т. Тем не менее, частицы, даже при наиболее низких температурах, сохраняют значительные скорости, так как принцип Паули вынуждает их занимать п наинизших состояний, наивысшее из которых имеет энергию, значительно более
q
высокую, чем ^kT. Объяснение электро- и теплопроводности и их отношения получается вполне удовлетворительным (так же, как и объяснение целого ряда эффектов, как, например, эффекта Холла, термоэлектричества и т.д.). Парадокс, связанный с эффектом Ричардсона, оказывается неизбежным следствием термодинамики: «электронный пар», испускаемый металлом, вследствие своей значительно меньшей плотности, должен обладать свойствами невырожденного газа при той же самой температуре, подобно тому, как, например, насыщенный пар над холодным кристаллом является классическим идеальным газом, хотя атомы внутри кристалла могут практически находиться уже в состоянии с нулевой энергией. Механическое объяснение того, почему электроны, вылетающие из металла в эффекте Ричардсона, обладают совершенно иным распределением по скоростям (они имеют скорости много меньшие, чем внутри металла), заключается в том, что при выходе они должны преодолевать потенциальный барьер в несколько вольт, совершенно так же, как атомы, испаряющиеся из твердого тела или жидкости. Этот потенциальный барьер играет по отношению к электронам ту же самую роль, что и стенки сосуда по отношению к обычному газу; он сдерживает частицы в замкнутом пространстве.
