Статическая термодинамика. - Шредингер Э.
ISBN 9-7029-0340-4
Скачать (прямая ссылка):
Взглянув на нее, видим, что она, конечно, пропорциональна п, однако при постоянном объеме! Что произойдет, если мы удвоим теперь также и объем? Мы непроизвольно изменяем дозволенные квантовые состояния отдельной частицы, ибо мы удваиваем их плотность вдоль всей шкалы энергий. Но в наших общих рассуждениях, с помощью которых мы доказали, что при соединении двух систем А и В (с квантовыми уровнями ат и /?) их термодинамические функции оказываются аддитивными, мы молчаливо предполагали, что сами ат и /? не изменяются при этом соединении и что поэтому совокупная система имеет квантовые уровни
Sl = Ctm + ?k ¦
Это объясняет причину неудачи. Правда, в новой теории это своеобразное изменение уровней, относящихся к отдельной частице (при соединении двух объемов одного и того же газа) также имеет место. Однако здесь отдельные уровни являются лишь вспомогательными представлениями, удобным способом обозначения уровней газа. Что касается последних, то хотя требование того, чтобы уровни совокупной системы получались аддитивно из уровней составных частей во всевозможных комбинациях, выполняется и не строгим образом1, но все же, очевиднее комбинации совокупности щ, П2, ... , пе, ... с совокупностью Tl11, п'2, ..., n'a, ... являются, разумеется, уровнями совокупной системы. Кроме этих, однако, существуют и другие уровни, так как после соединения требование постоянства предъявляется не к отдельным суммам J^ns И а лишь к сумме их сумм. 68
Глава 2
но, с достаточным приближением, чтобы объяснить аддитивность всех термодинамических функций.
Отступление. Аннигиляция вещества? В этом месте, пожалуй, будет наиболее своевременно поговорить об одном интересном аспекте соотношения (8.1), возникающем, когда мы опускаем условие Y ns = const в случае частиц с неисчезающей массой покоя, что
s
позволяет частицам, так сказать, возникать или аннигилироваться в результате столкновений, причем энергия ±тс2 либо заимствуется из кинетической энергии, либо идет на ее пополнение. В этом случае, разумеется, следует пользоваться выражением (7.22) в его полном виде:
ПI2
2 P а = тс + ^—.
Im
тс2
Легко видеть, что это дает добавочный множитель е кТ перед величиной і как в (8.1), так и в (8.2). Если бы мы не отбросили условие
для Yns, то получили бы лишь несущественное изменение в опреде-
s
лении С (поэтому-то мы и смогли отбросить тс2 в предыдущих формулах). Но теперь мы отбрасываем это условие. Тогда ? = 1. Уравнение (8.1) определяет уже не ?, а п или т.е. плотность частиц. Кроме того, формально (8.1) остается тем же, что и прежде, только вместо ?
тс2
стоит е кТ . Для всех интересующих нас температур эта величина чрезвычайно мала; она значительно меньше, чем число, указываемое
формулой (8.9), а именно ? = A.^ . Поэтому мы должны быть го-
Zoo о іU
товы к тому, что отбрасывание упомянутого условия будет означать при обычной температуре крайнюю степень разрежения. Мы получаем, вполне аналогично (8.8),
(8.19)
[Логарифмируя и умножая на пк, получаем формально, по аналогии с (8.12) и (8.13), формулу для давления пара вещества с огромной теплотой испарения, равной величине птс2, деленной на механический эквивалент теплоты.] В качестве примера воспользуемся случаем гелия при нормальных условиях, точными данными для которого мы уже пользовались ранее. Число частиц в кубическом сантиметре ^ будет Оценка формул. Предельные случаи
69
(8.20)
Вычисление экспоненты дает:
^0-6,9 343.. .XlO'
|8
(8.21)
Другим множителем, 255 570, следует пренебречь, так как вычисление экспоненты в (8.21) не производится с точностью до 9-го десятичного знака. В пределах полученной точности оказывается даже несущественным, говорим ли мы о плотности в «граммолекулах на литр» или в «отдельных атомах на вселенную», так как получающиеся значения будут отличаться лишь в ~ IO110 раз.
Подобный же типичный результат получаем и при рассмотрении любых других возможностей аннигиляции весомой материи, например при рассмотрении перехода материи в тепловое излучение. Если не считать такие переходы невозможными, то остается только удивляться, как могло остаться во вселенной так много весомой материи. Единственный выход из этого затруднения заключается, повидимому, в предположении, что переход является очень медленным процессом и что сравнительно недавно режим вселенной сильно отличался от теперешнего.
Отступление, касающееся соотношения неопределенностей. Прежде чем перейти к случаю собственно вырождения (т. е. когда нельзя считать, что С 1), рассмотрим с новой точки зрения величину, стоящую в правой части выражения (8.8):
последнее, как мы помним, является формой, которую принимает (8.1) при С <С 1. Заметное отклонение от классического поведения начинается при тех температурах и объемах, при которых член в правой части уже не является очень большим числом, а становится сравнимым с единицей. Еще более близким к единице будет при этом кубический корень из этой величины,
3
с
1
(8.22)
¦•¦Меньше, чем 6 X IO23 в 22 литрах. 70
