Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
распределением (Р (?* ей) = Р (-<= В) для
38S ГЛ IV. НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
каждого В е <?Jb (R), k^n). Тогда для любого действительного а
Р( шах 5ft>a'isg2P(5n>a). (9)
(l<A<n /
Доказательство. Пусть A-S шах Sft>al, Л* = {5г^а,
UsgA^a I
-1; S*>a} и 5 = {S">a}. Поскольку на множестве Ак Sn>a (так как Sk^Sn),
то
Р (В Л Ak) Ss Р (АЛ Л {Sn ^ S*}) = Р (Ak) Р (Sn ^ S*H = Р {Ak) Р (?*ц + -
• • + ?/! Эг 0).
В силу симметричности распределений вероятностей'случайных величин \п
Р (^A+i + • • • + \п > 0) = Р (?*+1 + ... + ?л < 0).
Поэтому Р (?*+! + .. . + ^л^0) ^ 1/2 и, значит,
П П
Р (В)^ 2 рМ*ПА)^у 2 РМ*)= тР^)*
А -1 А=1
что и доказывает (9).
Лемма 2. Пусть S"~(r)^(0, о2(п)), o2(n)-f со а числа а (а),
а 5" 1, таковы, что п ->¦ оо. Тогда
' ' а (п) '
_ а2 (гс)
PfrS">a(n))~ с 20Ч,!). (10)
у 2л а (п)
Доказательство следует из того, что при х->со 1 00 1
а случайная величина S"/cr(")~(c)^(0, 1).
Доказательство теоремы 1 (в случае g,-~(c)^(0, 1)). Установим сначала
соотношение (5). Пусть е>0, Х=1+е, tik = Xk, где k^k0, а й0 выбирается
так, чтобы In In k0 был определен. Обозначим также
^A = {S">Ait(rt) Ддя некоторого п е (nk, "а+i]}" О1)
§ 4 ЗАКОН ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА
387
и пусть
Л = {Л/гб. ч.} - > Я\|)(п) для бесконечно многих п}.
В соответствии с (3) для доказательства (5) достаточно доказать, что Р
(А) - 0.
Покажем, что Р (^ft)<oo. Тогда по лемме Бореля - Кантелли Р(Л) = 0.
Из (11), (9) и (10) находим, что
P(Hft)sgP AiJ}(ftft) Для некоторого п е (tik, п*+1)}^
es Р{5" > Яг)> (tik) для некоторого nsCnft+1}=s?
Ц2
^2P{5"w>hw;~ vr-1 •=
r2"W
<С1г1|п1п1'<С2г1|п|1 = Сф-к,
где Сх и С2 -некоторые константы. Но ^к~к<.оо, поэтому
2 Р (А к) < оо.
Итак, соотношение (5) доказано.
Перейдем к доказательству (6). В . соответствии с (4) надо показать, что
для Я=1 -е, е>>0, с вероятностью единица ^Х\р(п) для бесконечно многих п.
Применим доказанное соотношение (5) к последовательности ( -Sn)n>i. Тогда
получим, что для всех п, за исключением, быть может, конечного числа (Р-
п. н.) - Sn sg 2г)> (п). Следовательно, если nk = Nk, N> 1, то для
достаточно больших k
S4-i=s=-2^("a-i)
Пли
Snk^Yk-2^(nk.i), (12)
где yk='Snk-Snk_1.
Поэтому, если доказать, что для бесконечно многих k
У к > Яг)) (Пк) + 2г|) (/Ift-i), (13)
то вместе с (12) это даст, что (Р-п. н.) для бесконечно многих k Sn/j >
Яг)> (nk). Возьмем некоторое Я' е (Я, 1). Тогда можно найти такое N > 1,
что для всех k
У [2 (Nk - Л/*-1) In In N*]1/2 > Я (2Nk In In Л/*)1/2 +
+ 2 (2ЛГ*-1 In In NX-1)1/2 = Яг)) (Nk) + 2г|> (Л^*-1).
388 ГЛ IV НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Теперь достаточно показать, что для бесконечно многих k
Yk > %' [2 {Nk - У*-1) In In W*]1/2. (14)
Очевидно, Yk~ (0, Nk - N!,~1). Поэтому в силу леммы 2 Р {Уь >Х [2 (Nk -
Nk~ *) In In W*]V*} ~
^ _________1_g - (X')2 In In Nk ^ C1 ^ _ (V)2 > C2
]^2nX'(21nlniV*)1^2 ^ (ln?)1/2 ^ kink
Так как ^TlrlT"00' то' слеД°вательН0> по второй части леммы
Бореля - Кантелли с вероятностью единица для бесконечно многих k
выполнено (14), что и доказывает соотношение (6).
Теорема доказана.
Замечание 1. Применяя (7) к случайным величинам (- S")n>i. находим, что
Иш-4йт = -1. (15)
ф(") ' '
Из (7) и (15) следует, что закону повторного логарифма можно
придать также следующую форму:
pins±44 = i] = i. (16)
I ф (") j
Замечание 2. Закон повторного, логарифма говорит о том, что для любого
е>0 каждая из функций ф| = (1+е)ф является верхней, а функция ф*е = (1 -
е) ф - нижней.
Утверждение (7) закона повторного логарифма эквивалентно также тому, что
для всякого е > 0
Р { | S" | =5= (1 - е) ф (п) б. ч.} = 1, Р{|5"|5г(1+е)ф(л) б. ч.}=0.
3. Задачи.
1. Пусть |х, |2, ... последовательность независимых случайных величин,
%n~N(0, 1). Показать, что
Р (Ш =1\=1.
( 1^2 In п /
2. Пусть |lt ^.... - последовательность независимых случайных величин,
распределенных по закону Пуассона с параметром К > 0. Показать, что
(независимо от X)
Р {lim= l}=l.
3. Пусть 1ц |2, ... - последовательность независимых одинаково
распределенных случайных величин с
Ме*Ъ=е-1'1а, 0 < а < 2.
§ 4 ЗАКОН ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА
389
Показать, что
Р lim
!".
"Ча
In Inn
= e1'* f= 1.
4. Установить справедливость следующего обобщения неравенства (9).
Пусть |lt ... , In - независимые случайные величины. Тогда для всякого
действительного а справедливо неравенство Леви
PI max [S* -f- p. (S" - S*)] >а\ с 2P (S" > a),
\l I
где p (I) -медиана случайной величины g, т. e. такая константа,
ГЛАВА V
СТАЦИОНАРНЫЕ (В УЗКОМ СМЫСЛЕ) СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ЭРГОДИЧЕСКАЯ
ТЕОРИЯ
§ 1. Стационарные (в узком смысле) случайные
последовательности. Сохраняющие меру преобразования
1. Пусть (й, aF, Р) - вероятностное пространство и | = = (In \2, ...)
- некоторая последовательность случайных величин, или случайная
последовательность. Обозначим через 6*? последовательность (lk+l, lk+2,
...).
¦ Определение 1. Случайная последовательность | называется стационарной
(в узком смысле), если для любого k лз 1 распределения вероятностей и |
