Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ширяев А.Н. -> "Вероятность" -> 127

Вероятность - Ширяев А.Н.

Ширяев А.Н. Вероятность — МГУ, 1957. — 581 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnost1957.pdf
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 133 .. 179 >> Следующая

При этом, разумеется, результаты для действительных случайных величин
легко могут быть получены в качестве частного случая из соответствующих
результатов для комплексных величин.
Пусть H2 = H2(Q, aF, Р) - пространство (комплекснозначных) случайных
величин ? = а + ф> а, р е R, с М 1112 < со, где ||.|г=:*
= а2 + Р2. Если Е, т]еЯ!, то положим
а, Т1) = МГП, (4)
§ 1. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 403
где rj = а - ф - комплексно-сопряженная величина к -ri=a + ip и
Ш = (Б, I)1'2- (5)
Как и для действительных случайных величин, пространство Я2 (точнее,
пространство классов эквивалентных случайных величин; ср. с §§
10 и 11 из гл. II) со скалярным произведением
(?, т]) и нормой 1 ?|| является полным. В соответствии с
термино-
логией функционального анализа пространство Я2 называется унитарным
(иначе - комплексным) гильбертовым пространством (случайных величин,
рассматриваемых на вероятностном пространстве (Q, eF, Р)).
Если ?, г| е Я2, то их ковариацией назовем величину
cov (?, ц) = М (? - М?) (ri - Mr}). (6)
Из (4) и (6) следует, что если М? = Мт| = 0, то
cov (?, г|) = (?, ri). (7)
Определение 1. Последовательность комплексных случайных величин ? =
(?")"S2 с М|?га|2<°о. яе2, называется стационарной (в широком смысле),
если для всех neZ
М?п = М?о> ,g,
COV (lk+п, Ы = cov (?", to), йеЕ Z.
Для простоты изложения в дальнейшем будем предполагать
М?0 = 0. Это предположение не умаляет общности, но в то
же
самое время дает возможность (согласно (7)), отождествляя кова риацию со
скалярным произведением, применять методы и результаты теории
гильбертовых пространств.
Обозначим
R(n) = cow (In, ?")> "eZ, (9)
и (в предположении R (0) = М | ?012 Ф 0)
pw=fw' rgeZ- (10)
Функцию R (п) будем называть ковариационной функцией, ар (п) -
корреляционной функцией (стационарной в широком смысле)
последовательности ?.
Непосредственно из определения (9) следует, что ковариационная функция
R(n) является неотрицательно-определенной, т. е. для любых комплексных
чисел аи ..., ат и ilt ..., tm е Z, mS* 1
т
2 a^RiU-tj)^ 0. (11)
i, /= i
404 ГЛ VI СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
В свою очередь отсюда (или непосредственно из (9)) нетрудно вывести
(задача 1) следующие свойства ковариационной функции:
Я (0)3*0, Я(-п) = Я(п), | R (п) | R (0), (12)
| R(n)-R (т) |2 < 2R (0) [R (0) - Re R (п - т)].
2. Приведем некоторые примеры стационарных последовательностей i =
(i")neZ" (В Дальнейшем слова "в широком смысле", а также указание на то,
что neZ, часто будут опускаться.)
Пример 1. Пусть |" = |0 •&("). гДе МЕо = 0, М|§ = 1 Hg = - ё\п) -
некоторая функция. Последовательность ? = (|л) будет стационарной в том и
только том случае, когда функция g(kz{-n)g(k) зависит лишь от п. Отсюда
нетрудно вывести, что найдется такое Я, что
g(n) = g{ 0) ёКп.
Таким образом, последовательность случайных величин
?л = Ео-?(0)еЛл
является стационарной с
R (п) = |g(0) \ге'1п.
В частности, случайная "константа" == ?0 образует стационарную
последовательность.
Пример 2. Почти периодическая последовательность. Пусть
1"= 2 W, (13)
* = 1
где гх, ..., zN - ортогональные (Мг,?у==0, 1ф']) случайные величины с
нулевыми средними и М | г* |2 = ст| > 0; - k =
= 1, ..., N\ Х1ф^, 1ф}. Последовательность ? = (?") является стационарной
с
Я (п) =|] <*?'**"• (14)
*= 1
В обобщение (13) предположим теперь, что
ОО
?"= Е (15)
к --оо
где величины г*, ^gZ, обладают теми же свойствами, что и
ОО
в (13). Если предположить, что то РЯД в правой
k =-00
§ 1 СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
405
части формулы (15) сходится в среднеквадратическом смысле и
R(n)= 2 oZe'V. (18)
k~ - СО
Введем функцию
F(k) = 2 о*- (17)
Тогда ковариационная функция (16) может быть записана в виде интеграла
Лебега - Стилтьеса
Я(я)= I eP*dF(k). (18)
- Я
Стационарные последовательности (15) образованы как суммы "гармоник" еАьп
с "частотой" кк и случайными "амплитудами" гк "интенсивности" a| =
M!z*j2. Таким образом, знание функции F (к) дает исчерпывающую информацию
о структуре "спектра" последовательности ?, т. е. о величине
интенсивностей, с которыми те или иные частоты входят в представление
(15). Согласно (18) знание функции F (X) полностью определяет также и
структуру ковариационной функции R{n).
С точностью до постоянного множителя (невырожденная) функция F (к)
является, очевидно, функцией распределения, причем в рассматриваемом
примере эта функция кусочно-постоянна. Весьма примечательно, что
ковариационная функция любой стационарной в широком смысле случайной
последовательности может быть представлена (см. теорему в п. 3) в виде
(18), где F (к) - некоторая (с точностью до нормировки) функция
распределения, носитель которой сосредоточен на множестве [- л, л), т. е.
F (к) - 0 для к < - л и F (к) = F (л) для к > л.
Результат об интегральном представлении ковариационной функции,
сопоставленный с (15) и (16), наводит на мысль, что произвольная
стационарная последовательность также допускает "интегральное"
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 133 .. 179 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed