Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ширяев А.Н. -> "Вероятность" -> 128

Вероятность - Ширяев А.Н.

Ширяев А.Н. Вероятность — МГУ, 1957. — 581 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnost1957.pdf
Предыдущая << 1 .. 122 123 124 125 126 127 < 128 > 129 130 131 132 133 134 .. 179 >> Следующая

представление. Так оно на самом деле и есть, что будет показано в § 3 с
помощью так называемых стохастических интегралов по ортогональным
стохастическим мерам (§ 2).
Пр и м е р 3. Белый шум. Пусть е = (ел) - последовательность
ортонормированных случайных величин, Ме" = 0, Ме,-Еу = 6у, где 6ij -
символ Кронекера. Понятно, что такая последовательность является
стационарной и
(1, п = 0, пфО.
406 ГЛ V! СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Отметим, что функция R (п) может быть представлена в виде
Я
Д(л)= $ eikndF(X), (19)
- Я
где
я
F(ty= ^ f(v)dv, = -жкя. (20)
- Я
Сравнение "спектральных" функций (17) и (20) показывает, что если в
примере 2 "спектр" был дискретным, то в настоящем примере он оказался
абсолютно непрерывным с постоянной "спектральной" плотностью /(Я)=1/2я, В
этом смысле можно сказать, что последовательность е = (е") "составлена из
гармоник, интенсивность которых одна и та же". Именно это обстоятельство
и послужило поводом называть последовательность е = (е") "белым шумом" по
аналогии с белым цветом, составленным из различных цветов одной и той же
интенсивности.
Пример 4. Последовательности скользящего среднего. Отправляясь от белого
шума е = (е"), введенного в примере 3, образуем новую последовательность
СО
Ъп= 2 a^n-k, (2 0
k =- СО
со
где ak - комплексные числа такие, что 2 kftl2^00- В силу
k= - 00
равенства Парсеваля
00
COV (^л+/л> Em)r=COV(^n> У =
k= - 00
так что \ = (У является стационарной последовательностью, которую принято
называть последовательностью, образованной с помощью (двустороннего)
скользящего среднего из последовательности е = (е4).
В том частном случае, когда вс' ak с отрицательными индексами равны нулю,
т. е.
СО
^л = @k&n~kt
k = - 00
последовательность ? = (?п) называют последовательностью одностороннего
скользящего среднего. Если к тому же все ak = 0 при k > р} т. е. если
Ъп " + • • • + @р&п-р> (22)
§ I СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 407
то 5 = (in) называется последовательностью скользящего среднего порядка
р.
Можно показать (задача 5), что для последовательности (22)
Я
ковариационная функция R(n) имеет вид R(n) - $ eiXnf(X)dX,
- л
где спектральная плотность равна
_1_
2я С
Р (г) = а0 + atz -j-... -f- apzp.
Пример 5. Авторегрессионная схема. Пусть снова е = (ел) - белый шум.
Будем говорить, что случайная последовательность ? = (?") подчиняется
авторегрессивной схеме порядка q, если
\п + Ь11п-г + ... + Ья1а-д = гп. (24)
При каких условиях на коэффициенты blt bq можно утверждать, что уравнение
(24) имеет стационарное решение? Чтобы ответить на этот вопрос,
рассмотрим сначала случай <7=1:
in = ain-i -f- (25)
где а = - bi. Если |а|<1, то нетрудно проверить, что стационарная
последовательность |=(|") с
ОО
Iп = 2 a/Zn-/ (26)
1=0
является решением уравнения (25). (Ряд в правой части (26) .сходится
в среднеквадратическом смысле.) Покажем теперь, что
в классе стационарных последовательностей I = (?") (с конечным
вторым моментом) это решение является единственным. В самом деле, из (25)
прследовательными итерациями находим, что
*-i
\п = а5л_х + гп = а [а?л_2 + e"_J + ел =... = а/е"_;.
_ .i=o
Отсюда следует, что
М
1 = 0
¦ со.
Таким образом, при |a[< 1 стационарное решение уравнения (25) существует
и представляется в виде одностороннего скользящего среднего (26).
408 ГЛ VI СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Аналогичный результат имеет место и в случае произвольного q~>\: если все
нули полинома
лежат вне единичного круга, то уравнение авторегрессии (24) имеет, и
притом единственное, стационарное решение, представимое в виде
одностороннего скользящего среднего (задача 2). При этом ковариационная
функция R(n) представима (задача 5) в виде
В частном случае q= 1 из (25) легко находим, что
Пример 6. Этот пример иллюстрирует возникновение авторегрессионных схем
при построении вероятностных моделей в гидрологии. Рассмотрим некоторый
водный бассейн.(например, Каспийское море) и постараемся построить
вероятностную модель, описывающую отклонения уровня в этом бассейне от
среднего значения, вызванные колебаниями в стоке и испарением с водной
поверхности.
Если за единицу измерения взять один год и через Нп обозначить уровень в
бассейне в п-й год, то получим следующее уравнение баланса:
где через ?л+1 обозначена величина стока в(л+ 1)-й год, S (Н) - величина
поверхности водного бассейна на уровне Я, а К - коэффициент испарения.
_ _
Обозначим через ?" = Я" - Я отклонение от среднего уровня Я (который
находится по результатам многолетних наблюдений) и предположим, что 5 (Я)
= S (Я) + с (Я - Я). Тогда из уравнения
Q (z) - 1 + bxz -j-... -f- bqz9
(27)
Я
к
R(n) = ^ eiXndF(k), F(k)= $ f{v)dv,
(28)
- Л
- Л
где
2л ' | Q (e~&) a
(29)
I2
И
(для /г<0 R(n) = R(-n)). При этом
^ ^ 2л j 1 -ае~'^ |2
Ял+1 - Я" - KS (Ня) -f- ?л+1,
(39)
§ 1 спектральное представление
409
баланса следует, что величины ?п подчиняются уравнениям
?л+1 = а?л + ел+1 (3d )
Предыдущая << 1 .. 122 123 124 125 126 127 < 128 > 129 130 131 132 133 134 .. 179 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed