Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку для любого
1 и любых х1г ..., хп, принимающих значения О или 1,
{со: |1(со)=х1, ..., |л(со) = хл} =
. Хг , Х2 , , Хп Х1 , , хп , 1 )
= {со. т + -р + ...+ 2л^со<т+...+ 27! -f wj,
то P-мера этого множества равна 1/2". Отсюда вытекает, что ?2, ... -
последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин
с
Р(|1 = 0) = Р(|1=1)=|.
Отсюда и из усиленного закона больших чисел вытекает следующий результат
Бореля: почти все числа интервала [0, 1) нормальны в том смысле, что с
вероятностью единица доля нулей и единиц в их двоичном разложении
стремится к 1/2, т. е.
А=1
§ 3. УСИЛЕННЫЙ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
383
Пример 2 (применение к "методу Монте Карло-"). Пусть / (х) - непрерывная
функция, заданная на интервале [0, 1] и принимающая значения из [0, 1].
Следующие рассуждения лежат в сснове статистического метода численного
вычисления интегра-1
лов \jf(x)dx ("метод Монте Карло").
о
Пусть гц, ?2, г|2, ... - последовательность независимых случайных
величин, равномерно распределенных на [О, 1J. Положим
1, если /(?,-)> т)г,
О, если / (?,¦) < г]?.
Ясно, что
Mpi = Р {/ (h) > Г)i}= $/ (х) dx.
О
В силу усиленного закона больших чисел (теорема 3)
п 1
i 2 pi-+$f(x)dx (р-п- н-).
1 = 1 о
1
Таким образом, численный подсчет интеграла § f(x)dx можно
о
осуществлять с помощью моделирования пар случайных чисел
П.
(Si. т1/)> t'^1. с последующим подсчетом величин pi и -jp ^ Pi-
i = i
5. Задачи.
1. Показать, что М?2<со тогда и только тогда, когда
ОО
2 пР (111 > п) < со.
Л=1
2. Предполагая, что |1( Е2, ... независимы и одинаково распределены,
показать, что если M[?ij"<co для некоторого 0<а<1,
то -тт7->-0 (Р-п. н.), и если М|^1|р<со для некоторого 1=^В<2,
П '
Т0 'S"~i/RM^1 Q (Р'П- н-)-
л1^ v '
3. Пусть 12, ... - последовательность независимых одинаково
распределенных случайных величин с МЦх^со. Показать, что для любой
последовательности констант {а"}
lim
~ - а" п п
- СО (Р-п. н.|.
4. Показать, что все рациональные числа из [0, 1) не являются
нормальными (в смысле примера 1 в п, 4).
384
ГЛ. IV. НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
§ 4. Закон повторного логарифма
1. Пусть |j, |2, ... - последовательность независимых бернул-лиевских
случайных величин с Р (|" = 1) = Р (1" = - 1)= -1/2, = + + Из
доказательства теоремы 2 в § 1 следует, что
с вероятностью единица
С другой стороны, согласно (3.11),
Сравним эти два результата.
Из (1) следует, что с вероятностью единица траектории (Sn)n^] бесконечное
число раз пересекают "кривые" ±e]/7i, где е -любое положительное число,
но в то же самое время они в силу (2) лишь конечное число раз выходят из
внутренности области, ограниченной кривыми ± е У п log п. Эти два
результата дают весьма полезную информацию о характере "размаха"
колебаний симметричного случайного блуждания (S")"^ ь Приводимый ниже
закон повторного логарифма существенно уточняет эти представления о
"размахе" колебаний
Введем такое
Определение. Функция <р* = <р* ("), п 1, называется верхней (для (Sn)n^
i), если с вероятностью единица S"s^cp*(n) для всех п, начиная с
некоторого л = п0(о).
Функция <р*=ф* (я), "5= 1, называется нижней (для (Sn)n^\), если с
вероятностью единица S">- ф*(/г) Для бесконечно многих п.
В соответствии с этим определением и в силу (1) и (2) можно сказать, что
каждая из функций ф* = е У~п log п, е > 0, является верхней, а функция ф*
= е У~п - нижней, е>0.
Пусть ф = ф (л) - некоторая функция и фе = (1+е)ф, =
= (1 - е)ф, где е>0. Тогда нетрудно видеть, что
(1)
<=>{ Sffls=S(l +е)ф(т)
для всякого в > О, начи-4 ная с некоторого (в) j"
".Г}' (3)
§ 4. ЗАКОН ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА 385
Точно так же
{¦^ - {"г fe-ib-М "
SUp sn г-- 1 с для всякого е>0. начи- \ ^
I т^п,(е) ная С НвКОТОрОГО Пг(ъ) /
e)tp(m) для всякого е>0 и для 1 бесконечно многих значений т, больших /.
(4)
некоторого п3(г)^п2(е) )
Из (3) и (4) вытекает, что для того, чтобы проверить, что
каждая из функций ф| = (1+e) <р, е>0, является верхней, надо
доказать, что
р{ш"^1Н- <5>
А для того чтобы доказать, что функции ф*Е = (1-е)ф, е>0, являются
нижними, надо установить, что
(6>
2. Теорема 1 (закон повторного логарифма). Пусть ?1( |2, ...
последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин
с М?,= 0 и М^- = а2 > 0. Тогда
р{Ш5тег = 1Н' <7>
где
ф (л) = Y2<^2" log log п. (8)
Для случая равномерно ограниченных случайных величин
закон повторного логарифма был установлен Хинчиным (1924 г.).
В 1929 г. Колмогоров обобщил этот результат на широкий класс независимых
случайных величин. В условиях, сформулированных в теореме 1, закон
повторного логарифма установлен Хартманом и Винтнером (1941 г.).
Поскольку доказательство этой теоремы довольно сложно, ограничимся
рассмотрением лишь частного случая, когда случайные величины !" являются
нормально распределенными,
~ (c)'/•"(О, 1), 1.
Начнем с доказательства двух вспомогательных результатов. Лемма 1. Пусть
?х, ..., с,п - независимые случайные величины о симметричным
