Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
совпадают:
Р ((1ь 5 )efl) = P (dft+1, ?*+2, ...)еВ), (Я").
Простейшим примером такой последовательности | является
последовательность g = (gx, g2, ...), состоящая из независимых одинаково
распределенных случайных величин. Отправляясь от такой
последовательности, можно сконструировать широкий класс стационарных
последовательностей г| = (т)1, г|2, ...), если взять произвольную
борелевскую функцию gfo, ..., хл) и положить
Л/г = ё (^/г> ^/г + 1" " ^/г + л)*
Если ! = (?!, |2, ...) -последовательность независимых одинаково
распределенных случайных величин с М | I < °° и Mgx = tn, то, согласно
усиленному закону больших чисел с вероятностью единица,
? _L I ?
-- ьл -> т, п -у со. п '
В 1931 г. Биркгоф получил замечательное обобщение этого результата на
случай стационарных последовательностей. Именно доказательство теоремы
Биркгофа и составляет основное содержание настоящей главы.
Последующее изложение будет вестись с привлечением понятия "сохраняющего
меру преобразования", что даст возможность как познакомиться с одной из
интересных ветвей анализа - эргодичес-
§ 1 СОХРАНЯЮЩИЕ МЕРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
391
кой теорией, так и установить ее связь с теорией стационарных случайных
последовательностей.
Пусть (й, sF, Р) - некоторое вероятностное пространство.
Определение 2. Отображение 7 пространства й в себя называется измеримым,
если для всякого Ле/
Т~1А = {со: 7соеЛ}еоГ.
Определение 3. Измеримое отображение 7 называется сохраняющим меру
преобразованием (морфизмом), если для всякого Ле/
Р(Т-М) = Р(Л).
Пусть 7 - сохраняющее меру преобразование, Т" - его п-я
степень и ^ (со) - некоторая случайная величина. Положим \п (со) = (7л-
1со), 2, и рассмотрим последовательность \ =
- {1,1, ?2> •••)• Мы утверждаем, что эта последовательность является
стационарной.
В самом деле, пусть Л = {со: geB}, Hj = {co: где
Поскольку Л = {со: (^ (со), ^ (7со), ...) е В\, а ф = = {со: (^(Тсо),
(72со), ...)еВ}, то сое Лх в том и только том
случае, когда 7соеА, или А1 = Т~1А. Но Р(Т~1А) = РА, и поэтому Р(ЛХ) =
Р(Л). Аналогичным образом Р{Ак) = Р{А) для любого Aft = {co: 0ft?eB},-&3s
2.
Итак, введение сохраняющего меру преобразования дает возможность
построения стационарных (в узком смысле) случайных последовательностей.
В определенном смысле верен и обратный результат: для каждой стационарной
последовательности \, рассматриваемой на (й, gF, Р), можно указать новое
вероятностное пространство (й, aF, Р), случайную величину |t (со) и
сохраняющее меру преобразование 7 такие, что распределение случайной
последовательности | ==
= {|х (со), §х (7со), ...} совпадает с распределением последовательности
?.
Действительно, возьмем в качестве й "координатное" пространство Д00 и
положим sF = Д? (Д°°), Р = Pg, где Р6 (В) - Р {со: ? е В], Ве^(^ш).
Преобразование 7, действующее в й, определим по > формуле
7 {х^, . . .) = (Хд, Хд, . . .).
Положим также для со = (х1( х^, ...)
|1(ш) = х1, 1л(м) = |1(7л-1со), nSs 2.
392 гл V СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Пусть теперь А = {со: (х1г ... , т()е5}, B^S3(Rk) и f М = = {со: (х2,
..., г1+1) е В). Тогда в силу стационарности
Р(Л) = Р{со: dx, ..., ?*)е Д} = Р{со: d2 ^+1)еВ} = Р(7' М),
т. е. Г -сохраняющее меру преобразование. Поскольку Р {со:
..., |*)еВ} = Р {со: (|х, ... , у е В) для любого k, то отсюда
следует, что распределения % и f совпадают.
Приведем примеры сохраняющих меру преобразований.
Пример 1. Пусть Q = {coj, соя} - множество, состоящее из конечного числа
точек, 2, aF -все его подмножества,
Тю, = сох + 1, lsgisgn- 1 н Т'со" = со1. Если Р (со,) = 1/я, то
Т -
сохраняющее меру преобразование.
Пример 2. Если Q = [0, 1), aF = ^9([0, 1)), Р - мера Лебега, X е [0, 1),
то Тх = (х + А.) mod 1 и Тх - 2xmodl являются сохраняющими меру
преобразованиями.
2. Остановимся на физических предпосылках, приводящих к изучению
преобразований, сохраняющих меру.
Будем представлять себе й как фазовое пространство состояний со некоторой
системы, эволюционирующей (в дискретном времени) в соответствии с
заданным законом движения. Тогда, если со есть состояние в момент я=1, то
Тпсо, где Г -оператор сдвига (индуцируемый данным законом движения), есть
то состояние, в которое перейдет система через п шагов. Далее, если А -
какое-то множество состояний со, то Т'_1Л = {со: ГсоеЛ} есть по своему
определению множество тех "начальных" состояний со, которые через один
шаг окажутся в множестве А. Поэтому, если интерпретировать й как
"несжимаемую жидкость", то условие Р (Т М) = Р (А) можно рассматривать
как вполне естественное условие сохранения "объема". (Для классических
консервативных гамильтоновых систем известная теорема Лиувилля
утверждает, что соответствующее преобразование Т является
преобразованием, сохраняющим меру Лебега.)
3. Одним из первых результатов относительно преобразований, сохраняющих
меру, была следующая теорема Пуанкаре (1912) о "возвратности".
Теорема 1. Пусть (й, aF, Р) - некоторое вероятностное пространство, Т -
