Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
преобразование, сохраняющее меру, и А е aF. Тогда для почти каждой точки
со е А Тпы е А для бесконечно многих "5; 1.
Доказательство. Обозначим С = {сое Л: Тпы ф А, для всех п 1}. Поскольку
для любого n^s 1 С П Т~пС = ф , то Т тС П T~im *'Л,С = Т~т (С П Т~пС) =
ф. Таким образом, последовательность {Т~ПС} состоит из непересекающихся
множеств, Р-мера
§ 2. ЭРГОДИЧНОСТЬ И ПЕРЕМЕШИВАНИЕ
393
оо оо
которых одна и та же. Поэтому ^ Р (О = 2 Р < Р (?2) = 1
п~0 п=0
и, следовательно, Р(С) = 0. Таким образом, для почти каждой точки иеД по
крайней мере для одного 1, ?о) ё Т Выведем отсюда, что тогда и для
бесконечно многих п Тпы е А.
Применим предшествующий результат к преобразованиям Тк, k^-A. Тогда для
каждой точки шеЛ N, где N - множество нулевой вероятности, являющееся
объединением соответствующих множеств, отвечающих разным к, найдется
такое пк, что (Т'/г)ллсо е А. Отсюда, разумеется, следует, что Рое А для
бесконечно многих п. Теорема доказана.
Следствие. Пусть |(со)^0. Тогда на множестве {со: t (u)j>0}
CO
2 | (Г*со) = со (Р-п. н.).
В самом деле, пусть Ап = |ю: Тогда, согласно
СО
теореме на множестве А" (Р-п. н.) yju^co) = схэ, и требуемый
к = 0
результат следует, если положить^ п -*¦ оо.
Замечание. Теорема сохраняет свою силу, если вместо вероятностной меры Р
рассмотреть любую конечную меру р, р (?2) < со.
4. Задачи.
1. Пусть Г -сохраняющее меру преобразование и ? = |(со)- случайная
величина с существующим математическим ожиданием М?(со). Показать, что
М|(со) = М|(Гсо).
2. Показать, что в примерах 1 и 2 преобразования Т являются
преобразованиями, сохраняющими меру.
3. Пусть ?2 = [0, 1), aF=s#?([0, 1)) и Р -некоторая мера с непрерывной
функцией распределения. Показать, что преобразования Тх - Хх, О<СХС 1, и
Тх = х2 не являются преобразованиями, сохраняющими меру.
§ 2. Эргодичность и перемешивание
1. На протяжении всего данного параграфа будем через Т обозначать
сохраняющее меру преобразование, действующее на вероятностном
пространстве (?2, "а?, Р).
Определение 1. Множество Ле / называется инвариантным, если Т^А - А.
Множество называется аочти инва-
риантным, если А и Т~гА отличаются на множество меры нуль, т. е. Р(ЛДГ-М)
= 0.
394 ГЛ. V. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Нетрудно проверить, чт.о класс инвариантных (почти инвариантных) множеств
(соответственно $*) образует о-алгебру.
О п р е д е л е н и е~ 2. Сохраняющее меру преобразование У называется
эргодическим (или метрически транзитивным), если каждое инвариантное
множество А имеет меру нуль или единица.
Определение 3. Случайная величина | = ?(ш) называется инвариантной (почти
инвариантной), если ?(со) = ?(Усо) для всех в s Q (для почти всех oeQ).
Следующая лемма устанавливает связь между инвариантными и почти
инвариантными множествами.
Лемма 1. Если А является почти инвариантным множеством, то найдется такое
инвариантное множество В, что Р (ЛАВ) - = 0.
Доказательство. Положим В = lim У~М. Тогда Т~гВ = = limУ-(Я+1М = В, т. е.
В еа7. Нетрудно убедиться в том, что
СО
ЛДВе (J (У-МДУ-^М). Но Р(У-МДУ-^+1)Л) = Р) ЛДУ-М) =
k = о
= 0. Поэтому Р(ЛДВ) = 0.
Лемма 2. Преобразование Т эргодично тогда и только тогда, когда каждое
почти инвариантное множество имеет меру нуль или единица.
Доказательство. Пусть Л е#*; тогда по лемме 1 найдется инвариантное
множество В такое, что Р(ЛДВ)=0. Но У эргодично и, значит, Р(В)=0 или 1.
Поэтому Р(Л) = 0 или 1. Обратное очевидно, поскольку <=е7*.
Лемма доказана.
Теорема 1. Пусть У - сохраняющее меру преобразование. Следующие условия
эквивалентны:
(1) У эргодично-,
(2) каждая почти инвариантная случайная величина есть (Р-п. н.)
константа-,
(3) каждая инвариантная случайная величина есть (Р-п. н.) константа.
Доказательство. (1)<=>(2). Пусть У эргодично и | почти инвариантна, т. е.
(Р-п. н.) ?(со) = ?(Усо). Тогда для любого с е R множество ^4С = {со: |
(со) ==сс) <= а7* и по лемме 2 Р (Ас) - 0 или
1. Пусть С = sup {с: Р(Ас) - 0}. Поскольку AC\Q при с|сю и А0\ф при с^
- оо, то |С|<оо. Тогда
Р{со: ЕН<С} = р{ Ojg((o)^C-|}J = 0
и аналогично Р {со: ? (со) > с} = 0. Тем самым Р {со: g (со) = С} - 1.
(2) ==> (3). Очевидно.
§ 2. ЭРГОДИЧНОСТЬ И ПЕРЕМЕШИВАНИЕ 395
(3)=>(1). Пусть /1е^, тогда 1А - инвариантная случайная величина и,
значит, (Р-п. н.) 1А = 0 или 1А = 1, откуда Р(Л) = 0 или 1.
Замечание. Утверждение теоремы остается в силе и в том случае, когда
рассматриваемые случайные величины ограничены.
В качестве иллюстрации применения этой теоремы рассмотрим следующий
Пример. Пусть й=[0, 1), аТ = а30([0, 1)), Р -мера Лебега и Тсо = (co-f-
A.) mod 1. Покажем, что Т эргодично в том и только том случае, когда X
иррационально.
Пусть ? = ? (со) -случайная величина с М?2(со)<;со. Тогда
СО
известно, что ряд Фурье ^ cne2nina функции | (со) сходится в
П = - СО
среднеквадратическом смысле, 2 | с" |2 <; оо и
СО
?((0) = ^ Cne2iUna (Р-п. Н.).
п = - 00
Отсюда
СО
? (Т(0) = Спе2Шпае2тп\'
П = - СО
и, если | инвариантна, то cn(l -e2nlnl) - 0. По предположению X
