Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
использован далее в доказательстве теоремы 3.)
Теорема 2. Пусть Т - сохраняющее меру преобразование и \ - - случайная
величина с M|i|<oo. Тогда
П -
(3)
п - 1
§ 3. ЭРГОДИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ 399
Если к тому же Т эргодично, то
М|~2 i (7'feto) - МН -*0, и-"-со. (5)
А = 0
Доказательство. Для всякого е>0 можно найти такую ограниченную случайную
величину т] (| г| (со) | ^ М), что М 11 - т] | ^е. Тогда
М
i 2 1(^со)-М(1!^)|^м||
k = Q k = 0
rt - 1
+ M|i 2 (n(7'*<o)-м(41I+MiMai^)-M(rii^)!. (6)
k~0
Поскольку | r| | sg M, то по теореме о мажорируемой сходимости и в силу
(1) находим, что второй член в правой части (6) стремится к нулю при п -
*¦ оо. Что же касается первого и третьего членов, то каждый из них меньше
или равен е. Поэтому для достаточно больших п левая часть в (6) меньше
2е, что и доказывает (4). Наконец, если Т эргодично, то (5) следует из
(4) и того замечания, что М (1 [ ^) = Ml (Р-п. н.).
Теорема доказана.
3. Перейдем теперь к вопросу о справедливости эргодической теоремы для
стационарных (в узком смысле) случайных последовательностей 1 = (11,
12,...), заданных на некотором вероятностном пространстве (й, aF, Р).
Вообще говоря, на (й, aF, Р) может и не существовать сохраняющее меру
преобразование, так что непосредственное применение теоремы 1 невозможно.
Однако в § 1 уже отмечалось, что можно построить (координатное)
вероятностное пространство (й, aF, Р), случайную последовательность f = =
(In i2, ¦••) и сохраняющее меру преобразование Т такие, что |" (со) = !х
(Г-1 &) и по распределению 1 и | совпадают. Поскольку такие свойства, как
сходимость почти наверное и в среднем, определяются лишь распределениями
вероятностей, то из сходи-
П
мости 2 !], (Т^Ча) (Р-п. н. и в среднем) к некоторой случай-
А= 1
П
ной величине г) следует, что - ^ \к (со) также сходятся (Р-п. и.
k ~ 1 d
и в среднем) к некоторой случайной величине т] такой, что т] = г). Из
теоремы 1 следует, что если М [ | < со, то
400 ГЛ. V. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
где # - совокупность инвариантных множеств (М - усреднение по мере Р).
Опишем теперь структуру величины тр
Определение 1. Множество Л е / будем называть инвариантным по отношению к
последовательности |, если найдется такое множество В е М (/?")> что для
любого "5=1
А - {со: (?", Ел+1, ...)(= В}.
Совокупность таких инвариантных множеств образует ст-алгебру, которую
обозначим sf|.
Определение 2. Стационарная последовательность | называется эргодической,
если мера любого инвариантного множества принимает лишь два значения 0
или 1.
Покажем теперь, что исследуемая случайная величина т) мс жет быть взята
равной Md^sS^). В самом деле, пусть А Тсгда
П - 1
поскольку М | ~ ^ ~ Л I 0, то
k= 1
i- 2 m
k - \ A A
Пусть B^SS(RX') таково, что Л = {со: (\k, gft+l, ...)еб} для любого &5-1.
Тогда в силу стационарности |
\hdP= $ |*dP = $ hdP-fadP.
А {"Кб*-h+v {o>: fl,. ...leBJ A
Поэтому из (7) следует, что для любого А^э7ь
\hdP = $T)dP,
А А
что означает (см. § 7 гл. II), что ц = М (|, I а7^). При этом М di |
= М?1( если последовательность | является эргодической.
Итак, доказана следующая
Теорема 3 (эргодическая теорема). Пусть ? = di. |2, ...) - стационарная
(в узком смысле) случайная последовательность с м | ij | < оо. Тогда (Р-
п. н. и в среднем)
П
lim^ 2 Б*(ю) = М (Si W-
k=i
Если к тому же ? - эргодическая последовательность, то (Р-п. н. и в
среднем)
П
lim? 2 E*((c)) = MEi.
k=l
§ 3. ЭРГОДМЧЕСКНЕ ТЕОРЕМЫ
4Ш
4. Задачи.
1. Пусть ? = (?,, Ег, ...) -гауссовская стационарная последовательность с
М?л = 0 и ковариационной функцией R (п) = Показать, что условие R(n)~>- 0
является достаточным для эргодичности |.
2. Показать, что всякая последовательность ? = (g,, ?2, ...), состоящая
из независимых одинаково распределенных случайных величин, является
эргодической.
3. Показать, что стационарная последовательность ? эргодична в том и
только том случае, когда для любого B^S3(Rk), k = = 1, 2, ...,
П
~Г 22 /я(^' •••' (Р-П. п.).
* - 1
ГЛАВА VI
СТАЦИОНАРНЫЕ (В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ) СЛУЧАЙНЫЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. /ЛТЕОРИЯ
§ 1. Спектральное представление ковариационной функции
I. Согласно определению, дайному в предшествующей главе, случайная
последовательность i = (ii, |2> •••) называется стационарной в узком
смысле, если для любого множества В е <?В (Rx) и любого п ^ 1
Р {&, |2, ...)еВ} = Р {(?в+1, ...) е В}. (1)
Отсюда, в частности, вытекает, что если ¦< со, то М?" не за-
висит от п:
= (2)
а ковариация cov (|"+m|n) = М (|n+m - М|п+От) (|" - М|") зависит лишь от
т:
COV (^п+/л> = COV (^1+тл, ^i). (3)
В настоящей главе будут исследоваться так называемые стационарные в
широком смысле последовательности (с конечным вторым моментом), для
которых условие (1) заменяется (более слабыми) условиями (2) и (3).
Рассматриваемые случайные величины будут предполагаться определенными для
neZ=(0, ± 1, ...} и к тому же комплекснозначными. Последнее предположение
не только не усложняет теорию, но и наоборот - делает ее более изящной.
