Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
x = a(t) cos (со t + а), (73.5)
где a(t) —некоторая функция времени.
Продифференцировав (73.5) по t, найдем х и х:
jк = a cos (cof + а) — асо sin (wf + а), х = a cos {mt + а) — 2d© sin (©f + а) — а©2 cos (©f + а).
После подстановки этих выражений в уравнение
(73.2) и несложных преобразований придем к следующему соотношению:
|a + 2pd + (©^—©2) aj cos (Ы + а) — 2© [а + Pa] sin (со/+а)=0.
Для того чтобы полученное нами уравнение удовлетворялось при любых значениях f, необходимо равенство нулю коэффициентов при cos(©f + a) и sin(©f + a). Таким образом, мы приходим к двум уравнениям:
a+ Pa = 0, (73.6)
a + 2pd + (©2-©2)a = 0. (73.7)
Уравнение (73.6) можно представить в виде
da a da - ..
-jf = — Pa, откуда — pdf.
Интегрирование последнего уравнения дает Ina =» = —рt + Inao, где через Inao обозначена постоянная интегрирования. Наконец, произведя потенцирование найденного соотношения, получим для a(t) следующее выражение:
а = а0е~Р1. (73.8)
Легко видеть, что а = —Pa и а = р2а. Подстановка этих значений в уравнение (73.7) приводит к соотношению
Р2а — 2р2а + (ю2 — и2) а = О,
249
из которого после сокращения на отличный от нуля мно* житель а получается значение со2:
(73.9)
При условии, что ю^>Р2, величина о будет вещественной, и решение дифференциального уравнения
(73.2) может быть представлено в виде (73.5). Таким образом, при не слишком большом затухании (при P < соо) колебания описываются функцией
График этой функции дан на рис. 182. Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся
a(t), причем величина а0 представляет собой амплитуду в начальный момент времени. Начальное смещение xQ зависит, кроме ао, также от начальной фазы a: Xo = = ао -cos а (рис. 182).
Скорость затухания колебаний определяется величиной P = г/2т, которую называют коэффициентом затухания. Найдем время т, за которое амплитуда уменьшается в е раз. По определению е-|іт = е-1, откуда Pt = 1. Следовательно, коэффициент затухания обратен по величине тому промежутку времени, за который амплитуда уменьшается в е раз.
Согласно формуле (73.9) период затухающих колебаний равен
х = а0е cos (u>t + а).
(73.10)
JC
ТОЧКИ X.
г
Рис. 182.
В соответствии С ВИДОМ функции (73.10) движение системы МОЖНО рассматривать как гармоническое колебание частоты а с амплитудой, изменяющейся по закону (73.8). Верхняя из пунктирных кривых на рис. 182 дает График функции
(73.11)
250
При незначительном сопротивлении среды (P2 <С ) период колебаний практически равен T0 = 2л/соо. С ростом коэффициента затухания период колебаний уве-личивается.
Последующие наибольшие отклонения в какую-либо сторону (например, а', а", а'" и т. д. на рис. 182) образуют геометрическую прогрессию. Действительно, если a' = O0C-P*, то а" = сцегШ-п = а'е~Рт, а"' = о0е-№+2т> = = а"~Рг и т. д. Вообще, отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно
qM _ рРГ a(t + T) ь ‘
Это отношение называют декрементом затухания, а его логарифм — логарифмическим декрементом затухания:
л “ln -рг- (73Л2) Последнюю величину обычно используют для характеристики затухания колебаний. Выразив р через і и T в соответствии с (73.12), закон убывания амплитуды можно записать в виде
а = а0е 1
За время т, за которое амплитуда уменьшается в е раз, система успевает совершить Ne = r/Т колебаний.
-H- т
Из условия е т=е~ получается, что К= KNe=I.
Следовательно, логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в е раз.
Для характеристики колебательной системы часто употребляется также величина
Q = ^- = UNe, (73.13)
называемая добротностью колебательной системы. Как видно из ее определения, добротность пропорциональна чисду колебаний Ne, совершаемых системой за
251
то время т, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз.
Найдем импульс системы, совершающей затухающие колебания. Продифференцировав функцию (73.10) по
времени и умножив полученный “ результат на массу т, получим
р = гпх = — ma0e~PJ[|Jcos {at + а) +
+ ю sin (со/ + а)].
Это выражение может быть преобразовано к виду
р ¦= рое_Р< cos (ю/ + a + ¦$), (73.14)
tg-ф = -
где P0 = та0 + P2 = тй0«)0, a удовлетворяет условию ю
TF'
Если бы не множитель e-W, то, исключив t из уравнений (73.10) и (73.14), подобно тому как это было осуществлено в § 71, мы получили бы в координатах х и р уравнение эллипса, повернутого по отношению к координатным осям. Наличие экспоненциального множителя приводит и
тому, что эллипс превращается в скручивающуюся спираль (рис. 183). Эта спираль и представляет собой фазовую траекторию затухающего колебания. Она будет наклонена по отношению к
координатным осям тем сильнее, чем больше коэффициент затухания р.
Из формулы (73.11) следует, что при — P2 = O период колебании обращается в бесконечность, т. е. движение перестает быть периодическим. Соответствующий математический анализ дает, что при со2 — P2^O движение носит апериодический (непериодический) харак*
