Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
гармоническому закону, причем амплитуда скорости
равна йсоо- Из сравнения (62.7) и (62.12) следует, что скорость опережает смещение по фазе на я/2.
Продиффере нцировав (62.12) еще раз по времени, найдем выражение для ускорения
W = X = — йсо'2 cos ((O0^ + а) =
= acoj; cos (to0t + а + я). (62.13)
Как следует из (62.13), ускорение и смещение находятся в противофазе. Это означает, что в тот момент, когда смещение достигает наибольшего положительного значения, ускорение достигает наибольшего по величине отрицательного значения, и наоборот.
На рис. 165 сопоставлены графики для смещения, скорости и ускорения.
Каждое конкретное колебание характеризуется определенными значениями амплитуды а и начальной фазы а. Значения этих величин для данного колебания могут быть определены из так называемых начальных условий, т. е. по значениям отклонения X0 и скорости Vo
227
X
Рис. 165.
R начальный момент времени. Действительно, положив d (62.7) и (62.12) t = О, получим два уравнения:
x0 = acosa, ?»о = — ato0sina,
из которых находим, что
(62.14)
(62.15)
Уравнение (62.15) удовлетворяется двумя значениями ос, лежащими в интервале от —я до -І-я. Из этих значений нужно взять то, при котором получаются правильные знаки у косинуса и синуса.
§ 63. Энергия гармонического колебания
Квазиупругая сила является консервативной. Поэто* му полная энергия гармонического колебания должна оставаться постоянной. В процессе колебаний, как Ъш выяснили выше, происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно, причем в моменты наибольшего отклонения из положения равновесия полная энергия E состоит только из потенциальной энергии, которая достигает своего наибольшего значения Ертах:
при прохождении же системы через положение равновесия полная энергия состоит лишь из кинетической энергии, которая в эти моменты достигает своего наибольшего значения Eh max"
(выше было показано, что амплитуда скорости равна О(0о). Легко видеть, что выражения (63.1) и (63.2) равны друг другу, так как согласно (62.5) та>1 = к.
Выясним, как изменяется со временем кинетическая Eh и потенциальная Ev энергия гармонического колеба-
228
(63.1)
ния. Кинетическая энергия равна [см. выражение (62.12) для і]
Ek =
¦sin2 ((O0/ + а).
2 2
Потенциальная энергия выражается формулой
г, кхг ка2 о, , , ч
Ep = -J-= -J- COS2 (ю0г + а).
(63.3)
(63.4)
с учетом соотношения
Складывая (63.3) и (63.4),
(62.5), получим:
с с , р ka4 mfl2t0O ^
E = Eh + Ep=~ |или —2— ) -
(63.5)
что совпадает с (63.1) и (63.2).
Таким образом, полная энергия гармонического колебания действительно оказывается постоянной.
Используя известные формулы тригонометрии, выражениям для Eh и Ep можно придать вид
Ek E sin2 (ti>0f + a) =
= Е [І- “ T cos 2 (10°*+ ct^] ’
(63.6)
Ep = E cos2 (tocf + а) =
= E [j + j cos 2 (a0t + а)J, Р„с. 16С.
(63.7)
где E — полная энергия системы. Из формул (63.6) и
(63.7) видно, что Eh и Ep изменяются с частотой 2со0, т. е. с частотой, в 2 раза превышающей частоту гармонического колебания.
На рис. 166 сопоставлены графики для х, Eh и Ep. Среднее значение квадрата синуса и квадрата косинуса равно, как известно, половине. Следовательно, среднее значение Eh совпадает со средним значением Ep и равно Е/2.
229
§ 64. Гармонический осциллятор
Систему, описываемую' уравнением
х + (B^x = 0, (64.1)
где ©о — постоянная положительная ,величина [см.
(62.6)], называют гармоническим осциллятором (или гармоническим вибратором). Как мы уже знаем, решение уравнения (64. J) имеет вид:
х = a cos (to0< + а). (64.2)
Следовательно, гармонический осциллятор представляет собой систему, которая совершает гармонические колебания около положения равновесия.
Все результаты, полученные в предыдущих параграфах для гармонического колебания, справедливы, разумеется, и для гармонического осциллятора. Рассмотрим дополнительно еще два вопроса.
Найдем импульс гармонического осциллятора. Продифференцировав (64.2) по времени и умножив полученный результат на массу осциллятора пг, получим
р = тх = — тащ sin (cd0? + а). (64.3)
В каждом положении, характеризуемом отклонением х, осциллятор имеет некоторое значение импульса р. Чтобы найти р как функцию х, нужно исключить
время t из уравнений (64.2) и (64.3). Для этого представим указанные уравнения в виде
— = cos (щї + а),
—-— = — sin (oW + а).
тащ ' и ’
Возведя эти выражения в квадрат и складывая, получим:
V2 г>2
---=1. (64.4)
2 1 _2 2,Л2 d tH Cl COn
На рис. 167 изображен график, показывающий зависимость импульса р гармонического осциллятора от отклонения х. Координатную плоскость р, х принято называть фазовой плоскостью, а соответствующий
230
график — фазовой траекторией. В соответствии с (64.4) фазовая траектория гармонического осциллятора представляет собой эллипс с полуосями а и таил о. Каждая точка фазовой траектории изображает отклонение х и импульс р, т. е. состояние осциллятора для некоторого момента времени. С течением времени точка, изображающая состояние (ее называют кратко изобра-зительной точкой), перемещается по фазовой траектории, совершая за период колебания полный обход. Легко убедиться в том, что перемещение изобразительной точки совершается по часовой стрелке. В самом деле, возьмем такой момент времени Ґ, что coot' + а = 2т (п — целое число). Этому моменту времени соответствует х=а и р = 0 (см. точку 1 на рис. 167). В последующие моменты времени X будет убывать, а р принимает все возрастающие по модулю отрицательные значения. Следовательно, изобразительная точка движется так, как показано стрелкой на рис. 167, т. е. по часовой стрелке.