Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
, 2зт , 2зт _ , 2зт
где kx = -j- cos a, ky = -j- cos p, cos у. Функция
(79.7) дает отклонение точки с координатами х, у, г в момент времени t, В случае, когда п совпадает с осью
х, kx — k, ky = kz = 0 и уравнение (79.7) переходит в
уравнение (78.8).
Уравнение плоской волны иногда пишут в виде
I = ReaeiCsi-^ (79.8)
причем часто опускают знак Re и пишут просто
I = Ctei (“'-ьг), (79.9)
подразумевая, что берется только вещественная часть этого выражения.
§ 80. Волновое уравнение
Оказывается, что уравнение любой волны есть решение некоторого дифференциального уравнения, называемого волновым. Чтобы установить вид волнового уравнения, сопоставим вторые частные производные по координатам и времени от функции (79.7), описывающей плоскую волну. Продифференцировав (79.7) дважды по каждой из переменных, получим:
= — со2а cos (to< — кг) = — (о2|, (80.1)
IJh = —k2xa cos (at — kr) = — k%, -k2ya cos (at — kr) = —k2yi„
2
dtj
= -k\a cos (at - kr) = -/?.
(80.2)
*) Cm. сноску на стр. 266.
271
Сложим вместе уравнения (80.2):
0+-^ + -0=-(^ + ^ + ^1=--*8!. (80-3)
Теперь, сопоставляя уравнения (80.1) и (80.3), находим, что
д2% , д21 , д*Ъ _ & д2%
дх2 "r Oif + Oz2 со2 ~5ё '
k2 1
Наконец, учитывая, что согласно (78.7) = -^г»
получаем окончательно:
0+#+5=^-Г>- «м»
Уравнение (80.4) и есть искомое волновое уравнение. Легко убедиться в том, что волновому уравнению удовлетворяет не только функция (79.7), но и любая функция вида
f{x, у, z; t)-*f{®t-kxx-kvy-kzz). (80.5)
Действительно, обозначая выражение, стоящее в скобках в правой части (80.5), через С, имеем:
df df i)? Pf d2f df' гц ? /оп ач
«“dT* f®’ I?--* Ж HF-I** (80'6)
Аналогично
^L=If2 — h2f "• J?L=kz і" (80 7)
dx»-*xl » ду* ttyI ’ й22 R*l * 1 ;
Подстановкой выражений (80.6) и (80.7) в уравнение (80.4) легко убедиться в том, что функция (80.5) удовлетворяет волновому уравнению, если положить V *= а/к.
’) Левая чаеть этого уравнения может быть записана более компактно с помощью оператора Лапласа Д. Оператором Лапласа обозначают символически совокупность действий, которые даю г Сумму вторых частных производных ПО X, у, Z от функции ЭТИХ переменных:
‘1 дх2 dif dz2 *
Используя оператор Лапласа, уравнение (80.4) можно записать
Всякая функция, удовлетворяющая уравнению вида
(80.4), описывает некоторую волну, причем корень квадратный из величины, обратной коэффициенту при ,
дает фазовую скорость этой волны. В зависимости от дополнительных условий, которые накладываются на решение уравнения (80.4), получается та либо иная волна.
х*Лх
§ 81. Скорость распространения упругих волн
Пусть в направлении оси х распространяется про* дольная плоская волна. Выделим в среде цилиндрический объем высотой Ax с площадью основания S (рис. 197). Смещения | частиц с разными х в каждый момент времени оказываются различными (см. рис. 194, на котором изображено | в функции от х). Если основание цилиндра с координатой х имеет в некоторый момент времени смещение |, то смещение основания с координатой х + Ax будет | + Ag. Следовательно, рассматриваемый объем деформируется — он получает удлинение Ag (А| — алгебраическая величииа; Ag < 0 соответствует сжатию цилиндра) или относительное
Si
Ґ 1—I I --V-] I
I I I «• Лх !
I і бЫк) і і і б(х+Лх'с, '44)
I I I I і I і і
1 I I I і і
4
Рис. 197
дает среднюю деформацию
цилиндра. В силу того, что | меняется с изменением Jt' не по линейному закону, истинная деформация в разных сечениях цилиндра будет неодинакова. Чтобы получить деформацию е в сечении х, нужно устремить Ax к нулю. Следовательно,
дх
(81.1)
(знак частной производной взят потому, что | зависит не только OT X, HO и от /) .
Наличие деформации растяжения свидетельствует о существовании нормального напряжения а, при малых
18 и. в. Савельев, т. I
273
>-JT
деформациях пропорционального величине деформации. Согласно (45.5)
с = ?е =?-§-, (81.2)
где E — модуль Юнга среды.
Отметим, что относительная деформация -Ц-, а еле*
довательно, и напряжение с в фиксированный момент времени зависят от х (рис. 198). Там, где отклонения
частиц от положения равновесия макси-
мальны, деформация и напряжение равны нулю. В местах, где частицы проходят через положение равновесия, деформация и напряжение достигают максимального значения, причем положительные Рис. 198. и отрицательные де*
формации (т. е. растяжения и сжатия) чередуются друг с другом. В соответствии с этим, как уже отмечалось в § 77, продольная волна состоит из чередующихся разрежений и сгущений среды.
Обратимся снова к цилиндрическому объему, изображенному на рис. 197, и напишем для него уравнение
движения. Беря Ax очень малым, ускорение цилиндра
(]2р
можно принять равным Масса цилиндра равна
р SAx, где р — плотность недеформированной среды. Сила, действующая на цилиндр, равна произведению площади основания цилиндра S на разность нормальных напряжений в сечении (х + Да; + | + Д|) и в сечении (х + ?)
