Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
Найдем площадь эллипса. Как известно, она равна произведению полуосей эллипса, умноженному на да
2Я TOC2COq S = Jtamaco0 — —----^—•
В соответствии с (63.5) та2со0/2 есть полная энергия осциллятора; величина 2л/соо равна l/v0, где vo — соб* ственная частота осциллятора, являющаяся для данного осциллятора величиной постоянной. Следовательно, плО’ щадь эллипса может быть представлена в виде
откуда
E = V0S. (64.5)
Таким образом, полная энергия гармонического осциллятора пропорциональна площади эллипса, причем коэффициентом пропорциональности служит собственная частота осциллятора.
Рнс. 167.
231
Площадь эллипса может быть вычислена как интеграл (j) р dx. Поэтому формуле (64.5) можно придать еле' дующий вид:
E = V0^ р dx.
Последнее соотношение сыграло большую роль при создании основ квантовой механики.
Теперь рассмотрим вопрос о вероятности, с которой осциллятор может быть обнаружен в различных положениях. Скорость осциллятора достигает наибольшего значения в те моменты, когда он проходит через положение равновесия. В моменты же наибольшего отклонения от положения равновесия скорость обращается в нуль. Отсюда следует, что вероятность обнаружить осциллятор вблизи одного из край’ них положений будет больше, чем вероятность обнару' жить его вблизи положения равновесия. Это поясняется рис. 168, на котором изображена кривая, определяющая так называемую плот-
ность вероятности '). Для того чтобы найти
вероятность dw нахождения осциллятора в пределах данного dx, нужно ординату кривой в соответствующем месте умножить на dx. Например, площадь заштрихованной полоски на рис. 168 численно равна вероятности dw того, что осциллятор будет обнаружен в пределах данного интервала dx. Вся площадь под кривой плотности вероятности дает вероятность того, что осциллятор будет обнаружен в'одном из положений в пределах от —а до +а, и, следовательно, как вероятность
‘) Эта кривая описывается уравнением
dw________1____
dx п I^a2-X2
dw
dx
232
всякого достоверного события, должна быть равна единице.
Отметим, что квантовая механика дает для вероятности различных положений гармонического осциллятора существенно отличный результат.
§ 65. Малые колебания системы вблизи положения равновесия
Рассмотрим произвольную механическую систему, положение которой может быть задано с помощью одной величины, которую мы обозначим через х. В таких случаях говорят, что система имеет одну степень свободы. Величиной х, определяющей положение системы, может быть угол, отсчитываемый от некоторой плоскости, или расстояний, отсчитываемое вдоль заданной кривой, в частности прямой, линии и т. п. Потенциальная энергия системы будет функцией одной переменной х: Ep — Ev(x). Выберем начало отсчета х таким образом, чтобы в положении равновесия системы х был равен нулю. Тогда функция Ер(х) будет иметь минимум при х = 0. Разложим Ер(х) в ряд по степеням х, причем ограничимся рассмотрением малых колебаний, так что высшими степенями х можно будет пренебречь. По формуле Маклорена
Ep (х) = Ep (0) + Е'р{0)х + ~ Ep (0) X2
(ввиду малости х остальными членами пренебрегаем).
Поскольку Ep (х) при х = 0 имеет минимум, Ep(O) равна нулю, а Е"(0) положительна. Введем обозначения: Ep(O)-=b, Ep (0) = k (к>0). Тогда
Ep(X) = b + \kx\ (65.1)
Выражение (65.1) ндеитнчио с выражением (62.3) для потенциальной энергии системы, в которой действует квазиупругая Сила (константу b можно положить равной нулю).
Используя соотношение (28.5), можно найти силу, Действующую на систему:
23}
Итак, потенциальная энергия системы при малых от* клонениях от положения равновесия оказывается квадратичной функцией смещения, а сила, действующая на систему, имеет вид квазиупругой силы. Следовательно, при малых отклонениях от положения равновесия любая механическая система будет совершать колебания, близкие к гармоническим.
§ 66. Математический маятник
Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке. Достаточно хорошим приближением к математическому маятнику служит небольшой тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нитке.
Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом Ф, образованным нитью с вертикалью (рис. 169). При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент М, равный по величине mgl sin ф (т — масса, a I — длина маятника). Он имеет такое направление, что стремится вернуть маятник в положение равновесия, и аналогичен в этом отношении квазиупругой силе. Поэтому так же, как смещению и квазиупругой силе, моменту M и угловому смещению ф нужно приписывать противоположные знаки1). Следовательно, выражение для вращательного момента имеет вид
M = — mgl sin у. (66.1)
Напишем для маятника уравнение динамики вращательного движения. Обозначив угловое ускорение через Ф и учитывая, что момент инерции маятника равен ml2, получаем;
ml2if> = — mgl sin ф.
