Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
252
тер — выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебании. На рис. 184 показано два возможных способа возвращения системы к положению равновесия при апериодическом движении. Каким из этих способов приходит система в положение равновесия, зависит от началь-иых условий. Движение, изображаемое кривой 2, получается в том случае, когда система начинает двигаться из положения, характеризуемого смещением X0, к поло-жению равновесия с начальной скоростью V0t определяемой условием
KM'oKp+VF=^.
§ 74. Автоколебания
При затухающих колебаниях энергия системы расходуется на преодоление сопротивления среды. Если восполнять эту убыль энергии, колебания станут незатухающими. Пополнение энергии системы может осуществляться за счет толчков извне, однако эти толчки должны сообщаться системе в такт с ее колебаниями, в противном случае они могут ослабить колебания и даже прекратить их совсем.
Можно сделать так, чтобы колеблющаяся Рис. 185.
система сама управляла внешним воздействием, обеспечивая согласованность сообщаемых ей толчков со. своим движением. Такая система называется автоколебательной, а совершаемые ею незатухающие колебания — автоколебаниям и.
В качестве одной из простейших автоколебательных систем рассмотрим устройство, изображенное на рис. 185. Гибкая упругая линейка зажата одним концом неподвижно. Если оттянуть свободный конец линейки вниз и затем отпустить, линейка начнет совершать
253
затухающие колебания. Колебания можно сделать неза* тухающими, направив на конец линейки струйку воды так, чтобы струйка задевала линейку в тот момент, когда она находится в верхнем крайнем положении. Удары струйки о конец линейки восполняют убыль энергии колебаний, обусловленную трением.
В качестве второго примера автоколебательной системы рассмотрим часовой механизм. Маятник часов насажен на одну ось с изогнутым рычагом — анкером
(рис. 186). На концах анкера имеются выступы специальной формы, называемые палеттами. Зубчатое ходовое колесо находится под воздействием цепочки с гирей или закрученной пружины, которые стремятся повернуть его по часовой стрелке. Однако большую часть времени колесо упирается одним из зубьев в боковую поверхность той либо иной палетты, скользящей при качании маятника по поверхности зуба. Только в моменты, когда маятник находится вблизи среднего положения, палетты перестают преграждать путь зубьям и ходовое колесо проворачивается, толкая анкер зубом, скользящим своей вершиной по скошенному торцу палетты. За полный цикл качаний маятника (за период) ходовое колесо проворачивается на два зуба, причем каждая из палетт получает по толчку. Через посредство этих толчков за счет энергии поднятой гири или закрученной пружины и восполняется убыль энергии маятника, возникающая вследствие трения.
§ 75. Вынужденные колебания
Вынужденными называются такие колебания, которые возникают в колебательной системе под действием внешней периодически изменяющейся силы (мы будем называть ее вынуждающей силой). Пусть вынуждающая сила изменяется со временем по гармоническому закону
f = F0Cosat. (75.1)
251
При составлении уравнения движения нужно учесть, кроме вынуждающей силы, также те силы, которые действуют в системе при свободных колебаниях, т. е. квази-упругую силу и силу сопротивления среды. Предполагая колебания достаточно малыми, будем по-прежнему считать силу сопротивления пропорциональной скорости. Тогда уравнение движения запишется следующим образом:
тх = — kx — гх + F0 cos соt.
Разделив это уравнение на т и перенеся члены с х и х в левую часть, получим неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка:
x + 2px-t-o^x = f0cosci)/, (75.2)
F г
где /о= . P= ~ коэффициент затухания, соо ==
= "]/"—— собственная частота колебаний системы.
f т
Как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения мы уже знаем [см. функцию (73.10), являющуюся общим решением уравнения (73.2)]. Оно имеет вид
х = а0е~& cos (со't + а'), (75.3)
где с/ = Yt0O — Р2> a aO и — произвольные постоянные.
Остается найти частное (не содержащее произвольных постоянных) решение уравнения (75.2). Предположим, что это решение имеет вид
х = a cos (at — ф) (75.4)
(в данном случае удобно обозначить начальную фазу вместо а через —ф). С помощью векторной диаграммы (см. § 68 и 69) легко убедиться в том, что наше предположение справедливо, а также определить значения а и ф, при которых функция (75.4) удовлетворяет уравнению (75.2). Дифференцируя (75.4) по времени, первые два члена уравнения (75.2) можно представить в
255
следующем виде:
2jlv: = — 2fkoa sin (со/ — <p) = 2(koa cos (юt — <p + - j) > (75.5) X = — ю2а cos (гаt — <p) = vra cos (i»t — Ф + я). (75.6)
Как следует из (75.2), гармоническое колебание focosatt является суммой трех гармонических колебаний той же частоты: колебания (75.6), колебания (75.5) и колебания (о^х = (о2а cos (at — ф). Если изобразить последнее колебание вектором длины (о2р, направленным