Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
і г з а і
О —і « .-. »-T-. « . » » .—— х
начинает смещаться вверх из положения равновесия. В момент времени, равный Т, первая частица закончит полный цикл колебания и будет находиться в таком же состоянии движения, как и в начальный момент. Волна к моменту времени Т, пройдя путь vT, достигнет частицы 5.
На рис. 193 показано движение частиц при распространении в среде продольной волны. Все рассуждения, касающиеся поведения частиц в поперечной волне, могут быть отнесены и к данному случаю с заменой смещений вверх її вниз смещениями вправо и влево. Как видно из рис. 193, при прохождении продольной волны в среде создаются чередующиеся сгущения и разрежения частиц (сгущения частиц отмечены иа рисунке пунктиром), перемещающиеся с направлении распространения волны со скоростью V.
264
Все время, пока существует волна, частицы среды совершают колебания около своих положений равновесия, причем, как видно из рис. 192 и 193, различные частицы колеблются со сдвигом .по фазе. Частицы, отстоящие друг от друга на расстоянии vT1), колеблются в
і г з і s
о —у. ¦ . . ........................... ¦ ^-J
I Ч I
--------------- VT ---------------*-4
Рис. 193.
одинаковой фазе (добавление к фазе 2л не оказывает на нее никакого влияния). Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися одинаковым образом (в одинаковой фазе), называется длиной волн ы К (см. рис. 194, на котором изображено смещение I частиц из положения равновесия, как функция расстояния х, отсчитываемого вдоль направления распространения волны). Длина волны, очевидно, равна тому расстоянию, на которое распространяется волна за период:
Н 7.=>vT. (77.1)
Заменяя в этом соотношении T через І/v [см. (62.9);
V — частота колебаний], получим, что
Kv = у. (77.2)
Последнее соотношение можно получить также из сле-
') Имеется в виду, что отстоят друг or друга на vT положения равновесия соответствующих частиц.
265
дующих соображений. За одну секунду источник волн совершает V колебаний, порождая в среде при каждом колебании один «гребень» и одну «впадину» волны., К тому моменту, как источник будет завершать v-e колебание, первый «гребень» успеет пройти путь V. Следовательно, V «гребней» и «впадин» волны должны уложиться на длине V.
В действительности колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси х (как это изображено на рис. 192 и 193), а совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Распространяясь от источника колебаний, волновой процесс охватывает все новые и новые части пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется фронтом волны (или волновым фронтом). Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли.,
Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе,называется волновой поверхностью. Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Следовательно, волновых поверхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт в каждый момент'времени только один. Волновые поверх* ностн остаются неподвижными (они проходят через по* ложения равновесия частиц, колеблющихся в одинако* вой фазе). Волновой фронт все время перемещается.
Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой систему параллельных друг другу плоскостей, в сферической волне — систему концентрических сфер.
§ 78. Уравнения плоской и сферической волн
Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение, колеблющейся точки, как функцию ее координат1), х, у, z и времени t:
_______________ ! = !(*, у, г\ t). (78.1)
1J Имеются в виду координаты равновесного положения точки.
266
Функция (78.1) должна быть периодической как относительно времени t, так и относительно координат х, у и z. Периодичность по t следует из того, что I описывает колебания точки с координатами х, у. z. Периодичность по координатам вытекает из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстоянии А, колеблются одинаковым образом.
Найдем вид функции g в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Для упрощения направим оси координат так, чтобы ось к совпала с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности будут перпендикулярны к оси X
и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение g будет зависеть только от X и t:
I = K*, t).
Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х—0 (рис. 195), имеют вид
1(0, t) = a cos at.
Найдем вид колебания частиц Рис. 195.
в плоскости, соответствующей
произвольному значению х. Для того чтобы пройти путь от плоскости X = O до этой плоскости, волне требуется время
X
T = —,
V
где V — скорость распространения волны. Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости х, будут отставать по времени на т от колебаний частиц в плоскости х — 0, т. е. будут иметь вид