Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
244
и у и учитывая, что а = 0, получим закон, по которому г изменяется со временем:
г = Va? + 6й cos at. (71.6)
Из (71.6) следует, что результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль прямой (71.5) с частотой (') и амплитудой, равной ]/a2 + fc2 (рис. 176).
2. Разность фаз а равна ±я. Уравнение (71.4) имеет
вид
(т + *Г
о,
откуда получается, что результирующее движение представляет собой гармоническое колебание вдоль прямой (рис. 177)
Ь
Л'.
3. При а = ±я/2 уравнение (71.4) переходит в
= 1, (71.7)
X2 . у2
а2 + ~Ь*
т. е. в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям, причем полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. При равенстве амплитуд а и b эллипс вырождается в окружность.
Случаи а = +я/2 и а = —я/2 отличаются направлен нием движения по эллипсу или по окружности. Если а = +я/2, уравнения (71.1) можно записать следующим образом:
X = OCOS со/, 1
В момент t = 0 тело находится в точке 1 (рис. 178). В последующие моменты времени координата х уменьшается, а координата у становится отрицательной. Следовательно, движение совершается по часовой стрелке. При а = —л/2 уравнения колебаний имеют вид
I (71.9)
у — b sin Cd/. J
Отсюда можно заключить, что движение происходит против часовой стрелки.
Из сказанного следует, что равномерное движение по окружности радиуса R с угловой скоростью со может
быть представлено как сумма двух взаимно перпендикулярных колебаний:
x = R cos соt, у = ± R sin сof
(71.10)
(знак « + » в выражении для у соответствует движению против часовой стрелки, знак «—» — движению по часовой стрелке).
Рис- 178- В заключение отметим, что
в случае, когда частоты взаимно перпендикулярных колебаний отличаются на очень малую величину Лео, их можно рассматривать как колебания одинаковой частоты, но с медленно изменяющейся разностью фаз. В самом деле, уравнения колебаний мо»шо представить следующим образом:
X = a cos соt,
у = Ъ cos [соt + (Дсо/ + а)],
и выражение Дсоt + а рассматривать как разность фаз, медленно изменяющуюся со временем по линейному закону.
Результирующее движение в этом случае происходит по медленно видоизменяющейся кривой, которая будет последовательно принимать форму, отвечающую всем значениям разности фаз от —я до +я.
246
§ 72. Фигуры Лиссажу
Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектория результирующего движения имеет вид довольно сложных кривых, называемых
У
У
фигурами Лиссажу. На рис. 179 показана одна из при стейших траекторий, получающаяся при отношении частот 1: 2 и разности фаз у
л/2. Уравнения колебаний имеют вид
X = a cos mt,
y=b COS ^2 (dt +4г) •
За то время, пока вдоль оси х точка успевает переместиться из одного крайнего положения в другое, вдоль оси у, выйдя из нулевого положения, она успевает достигнуть одного крайнего положения, затем другого и вернуться в нулевое положение.
При отношении частот 1 :2 и разности фаз, равной нулю, траектория вырождается в незамкнутую кривую (рис, 180), по которой точка движется туда и обратно.
Рис. 181.
247
Чем ближе к единице рациональная дробь, выражающая отношение частот колебаний, тем сложнее оказывается фигура Лиссажу. На рис. 181 для примера показана крквая для отношения частот 3:4 и разности фаз л/2.
§ 73. Затухающие колебания
При выводе уравнения гармонических колебаний мы считали, что колеблющаяся точка находится под действием только квазиупругой силы. Во всякой реальной колебательной системе всегда имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, колебания будут затухать.
Рассмотрим свободные (или собственные) затухающие колебания. Раз колебания свободные, значит, система, будучи выведена внешними силами из положения равновесия или получив за счет внешних сил первона-чальный толчок, в дальнейшем предоставлена самой себе и находится под воздействием только квазиупругой силы и силы сопротивления среды. Ограничимся рассмотрением малых колебаний. Тогда и скорость системы будет малой, а при небольших скоростях сила сопротивления пропорциональна величине скорости:
fr = — rv-= — r.i, (73.1)
где г — постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Знак «—» обусловлен тем, что / и v имеют противоположные направления.
Напишем для колеблющегося тела уравнение второго закона Ньютона:
тії = — kx — гх.
Перепишем его следующим образом:
х + 2fSi + Co2X = 0, (73.2)
где применены обозначения:
2Р—(73.3)
wo = 7T* (73.4)
Заметим, что W0 представляет собой ту частоту, с КО’ торой совершались бы свободные колебания системы
218
при отсутствии сопротивления среды, т. е. при г = 0. Эту частоту называют собственной частотой колебаний системы.
В случае гармонического осциллятора размах колебаний, определяемый амплитудой а, остается постоянным. Наличие сопротивления среды приводит к тому, что размах колебаний уменьшается. Поэтому попробуем искать решение уравнения (73.2) в виде
