Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Савельев И.В. -> "Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика" -> 74

Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.

Савельев И.В. Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика — М.: Наука, 1970. — 508 c.
Скачать (прямая ссылка): kursobsheyfizikit11970.djvu
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 150 >> Следующая


fo fo
hr
и Wi;.: шга

(Ul*-Wz)a

а)

Рис. 187.

вправо (рис. 187), то колебание (75.5) изобразится век* тором длины 2fkoа, повернутым относительно вектора tifyc против часовой стрелки на угол л/2, а колебание

(75.6) — вектором длины со-а, повернутым относительно вектора O20X на угол л. Чтобы уравнение (75.2) было удовлетворено, векторная сумма перечисленных трех векторов должна совпадать с вектором, изображающим колебание focosco/. Такое совпадение возможно лишь при значении амплитуды а, которое определяется условием (см. рис. 187, а)

(2 Й2 2 . .„2 2 2 г2

((Oo — (о ) а + 4р (о a = Jo,

откуда

а = -==Л=. (75.7)

V (cog-со2)2+ 4р V

Рис. 187, а отвечает случаю со < юо. Из рис. 187,6, соответствующего случаю со > соо, получается такое же значение а.

256
Рис. 187 позволяет получить также и значение <р, которое представляет собой величину отставания по фазе вынужденного колебания (75.4) от обусловившей его вынуждающей силы (75.1). Из рисунка следует, что

tg<P = -#T3T- (75.8)

2 2 — <t)

Подставив в (75.4) значения а и ср, определяемые формулами (75.7) и (75.8), получим частное решение неоднородного уравнения (75.2):

os— arctg- I-- -Л.

V «g-и-iJ

X =



(75.9)

Функция (75.9) в сумме с (75.3) дает общее решение уравнения (75.2), описывающее поведение системы при вынужденных колебаниях. Слагаемое (75.3) играет заметную роль только в начальной стадии процесса, при так называемом установлении колебаний (рис. 188),

колебаний

Рис. 188.

С течением времени из-за экспоненциального множителя е~$1 роль слагаемого (75.3) все больше уменьшается, и по прошествии достаточного времени им можно пренебречь, сохраняя в решении лишь слагаемое (75.9).

Таким образом, функция (75.9) описывает установившиеся вынужденные колебания. Они представляют собой гармонические колебания с частотой, равной частоте вынуждающей силы. Амплитуда (75.7) вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей

17 И. В. Савельев, т. I

2Б7
силы. Для данной колебательной системы (определенных Wo и р) амплитуда зависит от частоты вынуждающей силы. Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы, причем величина отставания q> также зависит от частоты вынуждающей силы [см. (75.8)].

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Колебательная система оказывается особенно от* зывчивой на действие вынуждающей силы при этой частоте. Это явление называется резонансом, а соот» ветствующая частота — резонансной частотой.

Чтобы определить резонансную частоту сорез, нужно найти максимум функции (75.7) или, что то же самое, минимум выражения, стоящего под корнем в знамена-їеле. Продифференцировав это выражение по со и приравняв нулю, Mbf получим условие, определяющее (Ope3:

-- 4 (cog - о2) со + 8р2со = 0. (75.10)

Уравнение (75.10) имеет три решения: со = 0 и

о = ± \Лйд — 2р2. Решение равное нулю, соответствует максимуму знаменателя. Из остальных двух решений отрицательное должно быть отброшено, как не имеющее физического смысла (частота не может быть отрицательной). Таким образом, для резонансной частоты получается одно значение:

Мрез= V4-2P2- (75.11)

Подставив это значение частоты в (75.7), получим выражение для амплитуды при резонансе:

А.

2P]/^FF

аре 3 = _7й=г. (75.12)

Из (75.12) следует, что при отсутствии сопротивления среды амплитуда при резонансе обращалась бы в бесконечность. Согласно (75.11) резонансная частота при тех же условиях (при р = 0) совпадает с собственной частотой колебаний системы соо-

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (или, что то же самое, от

258
частоты колебаний) показана графически па рис. 189. Отдельные кривые на графике соответствуют различным значениям параметра р. В соответствии с (75.11) и (75.12), чем меньше р, тем выше и правее лежит максимум данной кривой. При очень большом затухании (таком, что 2р2>сОр) выражение для резонансной частоты становится мнимым. Это означает, что при этих условиях резонанс не наблюдается — с увеличением частоты амплитуда вынужденных колебаний монотонно убывает (см. нижнюю кривую на рис. 189). Изображенная на

а

Рис. 189.

рис. 189 совокупность графиков функции (75.7), соответствующих различным значениям параметра (3, называется резонансными кривыми.

По поводу резонансных кривых можно сделать еще следующие замечания. При стремлении со к нулю все кривые приходят к одному и тому же, отличному от нуля, предельному значению, равному т. е. F0Iki

Это значение представляет собой смещение из поло-, жения равновесия, которое получает система под дей* ствием постоянной силы величины F0. При стремлении со к бесконечности все кривые асимптотически стремятся к нулю, так как при большой частоте сила так быстро изменяет свое направление, что система не успевает заметно сместиться из положения равновесия. Наконец, отметим, что чем меньше Р, тем сильнее изменяется с частотой амплитуда вблизи резонанса, тем «острее» получается максимум.
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 150 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed