Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
!) Рассматривая <р как вектор, связанный с направлением поворота правилом правого винта (это допустимо при малых ф), противоположность знаков при M и ф можно объяснить тем, что векторы Миф направлены в противоположные стороны (рис. 169).
234
Последнее уравнение можно привести к виду
Ф + у sin ф = 0. (66.2)
Ограничимся рассмотрением малых колебаний. В этом случае можно положить sin ф ~ ф. Введя, кроме того, обозначение
которое идентично с уравнением (62.6) для шарика, подвешенного на пружине. Его решение имеет вид
Следовательно, при малых колебаниях угловое отклонение математического маятника изменяется со временем по гармоническому закону.
Как следует из (66.3), частота колебаний математического маятника зависит только от длины маятника и от ускорения силы тяжести и не зависит от массы маятника. По формуле (62.8) с учетом (66.3) получается известное из школьного курса выражение для периода колебаний математического маятника:
Отметим, что, решив уравнение (66.2), можно найти для периода колебаний следующую формулу:
где а—амплитуда колебаний, т. е. наибольший угол, на который отклоняется маятник из положения равновесия.
Физическим маятником называется твердое тело, способное совершать колебания вокруг неподвижной точки, не совпадающей с его центром инерции. В положении равновесия центр инерции маятника С находится под
(66.3)
мы придем к следующему уравнению:
Ф + со2ф = 0,
(66.4)
Ф = a cos (щі + а).
(66.5)
(66.6)
§ 67. Физический маятник
235
точкой подвеса маятника О, на одной с ней вертикали (рис. 170). При отклонении маятника от положения равновесия на угол ф возникает вращательный момент,
стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен
M = — mgl sin ф, (67.1)
где m — масса маятника, a I — расстояние между точкой подвеса и центром инерции маятника. Знак «—» имеет то же значение, что и в случае формулы (66.1).
Обозначив момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, буквой /, можно написать:
/ф = — mgl sіпф. (67.2)
В случае малых колебаний (67.2) переходит в уже известное нам урав-
нение:
Ф + (Оцф = 0.
(67.3)
Через too обозначена в данном случае следующая величина:
со;
_ mgl
(67.4)
Рис. 170.
Из уравнений (67.3) и (67.4) следует, что при малых отклонениях от положения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания, частота которых зависит от массы маятника, момента инерцин маятника относительно оси вращения и расстояния между осью вращения и центром инерции маятника. В соответствии с (67.4) период колебания физического маятника определяется выражением
' = 2л —J г mgl
(67.5)
Из сопоставления формул (66.6) и (67.5) получается, что математический маятник с длиной
/
пр
ml
(67.6)
будет иметь такой период колебаний, как и данный физический маятник. Величину (67.6) называют п р и в е-
236
денной длиной физического маятника. Таким образом, приведенная длина физического маятника — это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.
Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром инерции, лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника (см. точку О' на рис. !70).
По теореме Штейнера момент инерции маятника / может быть представлен в виде
I = I0 + ml2, (67.7)
где /о — момент инерции относительно оси, параллельной оси вращения и проходящей через центр инерции маятника. Подставив (67.7) в формулу (67.6), получаем:
/ „-¦?• + /. (67.8)
Из (67.8) следует, что приведенная длина всегда больше I, так что точка подвеса и центр качания лежат по разные стороны от центра инерции.
Подвесим маятник в точке, совпадающей с центром качания O'. В соответствии с (67.8) приведенная длина в этом случае будет равна
C = T%р + 1', (67.9)-
где Г —расстояние между первоначальным центром качання и центром инерции маятника. Учитывая, что I' = lap — I, выражение (67.9) можно записать следующим образом:
1а» = т (/,J-1) + 1п» ~ 1 = lu‘> т (Inр -1) К/о+ tnl’) ~ т11^‘
Выражение, стоящее в квадратных скобках, равно нулю. Действительно, I0 + ml2 равно I — моменту инерции относительно первоначальной оси вращения; этой же величине в соответствии с (67.6) равно выражение mllaр. Таким образом, мы приходим к выводу, что при подвешивании маятника в центре качания приведенная длина, а значит, и период колебаний будут теми же, что ц вначале. Следовательно, точка подвеса и центр кача-ния обладают свойством взаимности: при переносе точки
237
подвеса в центр качания прежняя точка подвеса,становится новым центром качания.
На установленном нами свойстве взаимности основано определение ускорения силы тяжести с помощью так называемого оборотного маятника. Оборотным называется такой маятник, у которого имеются две параллельные друг другу, закрепленные вблизи его концов опорные призмы, за которые он может поочередно подвешиваться. Вдоль маятника могут перемещаться и закрепляться на нем тяжёлые грузы. Перемещением грузов добиваются того, чтобы при подвешивании маятника за любую из призм период колебаний был одинаков. Тогда расстояние между опорными ребрами призм будет равно /пр. Измерив период колебаний маятника и зная Inр, можно по формуле ___
