Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
(во втором множителе пренебрегаем членом Лш/2 по сравнению с о).
График функции (70.1) изображен на рис. 173, а.
График построен для — 10-
Заключенный в скобки множитель в формуле (70.1) изменяется гораздо медленнее, чем второй множитель.
16 И. В. Савельев, т. I 241
Ввиду условия Дю <С со за то время, за которое множитель cos соt совершает несколько полных колебаний, множитель, стоящий в скобках, почти не изменится. Это дает нам основание рассматривать колебание (70.1) как гармоническое колебание частоты со, амплитуда которого изменяется по некоторому периодическому закону. Выражением этого закона не может быть множитель, стоящий в скобках, так как он изменяется в пределах от —2а до + 2а, в то время как амплитуда по определению — положительная величина. График амплитуды показан на рис. 173, б. Аналитическое выражение амплитуды, очевидно, имеет вид:
In Да t I амплитуда = 2a cos -у-t .
(70.2)
Функция (70.2)—периодическая функция с частотой, в 2 раза превышающей частоту выражения, стоящего под знаком модуля (см. рис. 174, на котором сопоставлены графики косинуса и его модуля), т. е. с частотой Ды. Таким образом, частота пульсаций амплитуды — ее называют частотой биений — равна разности частот складываемых колебаний.
Отметим, что множитель 2а cos ^y-1 не только определяет амплитуду, но и влияет на фазу колебания. Это проявляется, например, в том, что отклонения, соответствующие соседним максимумам амплитуды, имеют противоположные знаки (см. точки Mi и M2 на рис. 173, а),
§ 71. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Рассмотрим систему, обладающую двумя степенями свободы, т. е. такую систему, для задания положения которой необходимы две величины. Примером может служить тяжелый шарик, подвешенный на легкой длинной пружине, конец которой закреплен на шарнире так,
cosp
Рис. 174.
242
что шарик вместе с пружиной может совершать маят-никообразиые колебания в одной плоскости. Положение шарика можно определить, задав угол <р, образуемый осью пружины с вертикалью, и расстояние I от оси шарнира до центра шарика. Шарик может участвовать в двух колебаниях: во-первых, в колебаниях, при которых изменяется угол ф, во-вторых, в колебаниях, при которых изменяется расстояние I. Частота первого колебания определяется длиной пружины I и ускорением силы тяжести g, частота второго — коэффициентом упругости пружины k и массой шарика т. Если возбудить одновременно оба колебания, то шарик, вообще говоря, будет двигаться по некоторой сложной траектории (рис. 175), форма которой зависит от соотношения частот и начальных фаз обоих колебаний.
В качестве второго примера рассмотрим тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити (математический маятник) '). Этот Рис. 175.
шарик может совершать два колебания во взаимно перпендикулярных направлениях, причем частоты обоих колебаний точно совпадают (обе частоты'определяются длиной маятника I и ускорением силы тяжести g). В этом случае шарик, вообще говоря, движется по некоторой криволинейной траектории, форма которой зависит от разности фаз обоих колебаний.
Перейдем к сложению двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одной и той же частоты со, совершающихся вдоль координатных осей хну. Выберем начало отсчета времени так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом: х = a cos со t, у = Ъ cos {at + а), где а — разность фаз обоих колебаний.
•) В § 66 мы предполагали, что такой маятник совершает колебания в заданной плоскости, вследствие чего его можно было рассматривать как систему с одной степенью свободы.
(71.1)
16*
243
Выражения (71.1) представляют собой заданное в параметрической форме уравнение траектории, по которой движется тело, участвующее в обоих колебаниях. Чтобы получить уравнение траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений (71.1) параметр і. Из первого уравнения следует, что
соз соt = ^. (71.2)
Следовательно, ______
sinto/ = |/ (71.3)
Теперь развернем косинус во втором из уравнений
(71.1) по формуле для косинуса суммы, подставляя при этом вместо COSCOt и sinot их значения (71.2) и (71.3). В результате получим:
ух /" * х~
4- = —cos a — sin а I/ I--5-.
о а га-
Последнее уравнение после несложных преобразований можно привести к виду
хг . у2 2x11 -9 ..
W + Jfc--aFC0Sa = Sina- (71-4>
Как известно из аналитической геометрии, уравнение
(71.4) есть уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей х и у произвольно. Ориентация эллипса и величина его полуосей зависят довольно сложным образом от амплитуд а и b и разности фаз а.
Исследуем форму траектории в некоторых частных случаях.
1. Разность фаз а равна нулю. В этом случае уравнение (71.4) принимает вид
(f-if-о-
откуда получается уравнение прямой
у=4*- ^71'5)
Колеблющаяся точка перемещается по этой прямой, причем расстояние ее от начала координат равно г = Yx1 + у1. Подставляя сюда выражения (71.1) для л-
