Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
со = 2?tv. (10.5)
Понятия периода обращения и числа оборотов в единицу времени можно сохранить и для неравномерного вращения, понимая под мгновенным значением T то время, за которое тело совершило бы один оборот, если бы оно вращалось равномерно с данным мгновенным значением угловой скорости, а под v понимая то число оборотов, которое совершало бы тело за единицу времени при аналогичных условиях.
Вектор о может изменяться как за счет изменения скорости вращения тела вокруг оси (в этом случае он изменяется по величине), так и за счет поворота оси вращения в пространстве (в этом случае ю изменяется по направлению). Пусть за время At вектор ю получает приращение Дю. Изменение вектора угловой скорости со временем характеризуется величиной
P = HmIr = Irl (10-6>
д<->о
которую называют угловым ускорением. Вектор Р, как и to, является аксиальным.
Когда направление оси вращения в пространстве остается постоянным, угловая скорость изменяется только по величине и |Дю| = |Дш|. В этом случае из (10.6) получается следующее выражение для модуля углового ускорения:
rfo)
о I- I Аш
P = Iim —гт-дг->о
dt
(Ю.7)
Если под р понимать проекцию вектора р на направление ю, то формула (10.7) запишется следующим образом:
0= Iim-IT = Ir- <10-8>
Д(-»0
40
В формуле (10.8) р — алгебраическая величина, которая положительна, если со со временем увеличивается (в этом случае векторы 0 и ю имеют одинаковое направление), и отрицательна, если со уменьшается (в.этом случае направления р и со противоположны).
Отдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости V. Скорость каждой из точек, будучи направлена по касательной к соответствующей окружности, непрерывно изменяет свое направление. Величина скорости v определяется скоростью вращения тела со и расстоянием R рассматриваемой точки от оси вращения. Пусть за малый промежуток времени Дt тело повер- 9
нулось на угол Дф (рис. 34). Точка, находящаяся на расстоянии R от оси, проходит при этом путь As, равный
As = R Дф.
, Аа> N —As
О
Рис. 34.
Линейная скорость точки по определению будет равна
V = Iim -^7- = Iim R = д<-»о дг->о А<
= Iim -g-= /?.?. = /?,,
дг-»о ar at
т. е.
1) = со/?. (10.9)
Итак, чем дальше отстоит точка от оси вращения, тем с большей линейной скоростью она движется.
Найдем линейное ускорение точек вращающегося тола. Нормальное ускорение согласно (9.4) равно
Подставляя в это выражение v из (10.9), находим, что
Wn = (O2R. (10.10)
Модуль тангенциального ускорения в соответствии с (9.8) равен J I. Воспользовавшись опять уравнением
41
(10.9), получаем:
= ЯР. (10.11)
Таким образом, как нормальное, так и тангенциальное ускорение растет линейно с R — расстоянием точки от оси вращения.
§ 11. Связь между векторами v и «
Кроме рассмотренных ранее операций сложения и вычитания векторов, а также умножения вектора на скаляр (см. § 2), существуют также операции перемножения векторов. Два вектора можно умножить друг на друга двумя способами: первый способ дает в результате некоторый новый вектор, второй — приводит к скалярной величине. Отметим, что операции деления вектора на вектор не существует.
Сейчас мы рассмотрим векторное произведение векторов. Скалярное произведение векторов мы введем позднее, когда оно нам понадобится.
Векторным произведением двух векторов А и В называется вектор С, обладающий следующими свойствами:
1) модуль вектора С равен произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла а между ними (рис. 35):
C = AB sin а;
2) вектор С перпендикулярен к плоскости, в которой лежат векторы А и В, причем направление его связано с направлениями А и В по правилу правого винта: если смотреть вслед вектору С, то совершаемый по кратчайшему пути поворот от первого сомножителя ко второму осуществляется по часовой стрелке.
Символически векторное произведение можно записать двумя способами:
[АВ] или А X В.
wx - Iim
At->0
т. е.
At) A t
= Iim
A (<aR)
I &t->o
A t
Iim R
Ді-»0
Wx = RR.
Ao
~КT
= R
Iim
А?-> 0
А<й
HT
42
Мы будем пользоваться первым из этих способов, причем иногда для облегчения чтения формул будем ставить запятую между сомножителями. He следует применять одновременно косой крест и квадратные скобки: [А X В]. Недопустима запись такого вида: [АВ] = Л/Jsina. Слева здесь стоит вектор, справа — модуль этого вектора, т. е, скаляр. Справедливо следующее равенство:
I [АВ] I = AB sin а. (11.1)
Поскольку направление векторного произведения определяется направлением вращения от первого сомножителя ко второму, результат векторного перемножения двух векторов зависит от порядка сомножителей.
Изменение порядка сомножителей вызывает изменение направления результирующего вектора иа противоположное (рис. 35)
[BA] = - [ABl
или
В X А = - (А X В).
Таким образом, векторное произведение не обладает свойством коммутативности.
Можно доказать, что векторное произведение дистрибутивно, т. е. что
