Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
[А, (B1 + B2 + ... + Вдг)] = [АВ|] + [AB9] + ... +[ABдг].
(11.2)
Векторное произведение двух полярных или двух аксиальных векторов есть аксиальный вектор. Векторное произведение аксиального вектора на полярный (или наоборот) будет, однако, вектором полярным. Изменение условия, определяющего направление аксиальных векторов, на обратное приведет в этом случае к изменению знака перед векторным произведением и одновременно к изменению знака перед одним из сомножителей. В итоге величина, выражаемая векторным произведением, остается без изменений.
Рис. 35.
43
Модулю векторного произведения можно дать про-стую геометрическую интерпретацию: выражение
AB sin а численно равно площади параллелограмма,
*.В
Рис. 36.
Рис. 37.
построенного на векторах А и В (рис. 36; вектор С = [АВ] направлен в этом случае перпендикулярно к плоскости чертежа, за чертеж).
Пусть векторы А и В взаимно перпендикулярны (рис. 37). Образуем двойное векторное произведение
этих векторов:
D = [А, [BA]],
т. е. умножим векторно В на А, а затем умножим векторно А на вектор, получившийся в результате первого умножения. Вектор [BA] имеет модуль,
равный BA ^sina = sin-^-= lj,
и образует с векторами А и В углы, равные я/2. Следовательно, модуль вектора D равен j А і • I [BA] I = Л • BA = A2B. Направление же вектора D, как легко видеть из рис. 37, совпадает с направлением вектора В. Это дает нам основание написать следующее равенство:
[А, [BA]] = Л2В. (11.3)
Формулой (113) мы будем в дальнейшем пользоваться неоднократно. Подчеркнем, что она справедлива
41
только в том случае, когда векторы А и В взаимно перпендикулярны.
Уравнение (10.9) устанавливает связь между модулями векторов V и о. С помощью векторного произведения может быть написано выражение, дающее соотношение между самими векторами. Пусть тело вращается вокруг оси z с угловой скоростью о (рис. 38). Легко видеть, что векторное произведение о на радиус-вектор г точки, скорость V которой мы хотим найти, представляет собой вектор, совпадающий по направлению с вектором V и‘имеющий модуль, равный юг sin а = со/?, т. е. V [см. формулу (10.9)]. Таким образом, векторное произведение [or] и по направлению и по модулю равно сектору v:
V = [or]. (11.4)
Формуле (11.4) можно придать иной вид. Для этого представим радиус-вектор г в виде суммы двух составляющих— вектора гг, параллельного оси г, и вектора R, перпендикулярного к оси z: г = \z + R (см. рис. 38). Подставив это выражение в формулу (11.4) и воспользовавшись дистрибутивностью векторного произведения [см. (11.2)], получим:
[or] = [о (гг + R)] = [о>гг] + [©R].
Векторы о и Tz коллинеарны. Поэтому их векторное
произведение равно нулю (sin а — 0). Следовательно,
можно написать, что
v = [wR]. (11.5)
В дальнейшем, при рассмотрении вращательного дви-. жения, мы всегда будем обозначать через R перпендикулярную к оси вращения составляющую радиуса-вектора г, проведенного из точки, взятой на оси. Модуль этого вектора дает расстояние R точки от оси.
ГЛАВА II
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
§ 12. Классическая механика. Границы ее применимости
Кинематика дает описание движения тел, не затрагивая вопроса о том, почему тело движется именно так (например, равномерно по окружности, или равномерноускоренно по прямой), а не иначе.
Динамика изучает движение тел в связи с теми причинами (взаимодействиями между телами), которые обусловливают тот или иной характер движения.
В основе так называемой классической или ньютоновской механики лежат три закона динамики, сформулированные Ньютоном в 1687 г.
Законы Ньютона (как и все остальные физические законы) возникли в результате обобщения большого количества опытных фактов. Правильность их (хотя и для очень обширного, но все же ограниченного круга явлений) подтверждается согласием с опытом тех следствий, которые из них вытекают.
Ньютоновская механика достигла в течение двух столетий таких огромных успехов, что многие физики XIX столетия были убеждены в ее всемогуществе. Считалось, что объяснить любое физическое явление означает свести его к механическому процессу, подчиняющемуся законам Ньютона. Однако с развитием науки обнаружились новые факты, которые не укладывались в рамки классической механики. Эти факты получили свое объяснение в новых теориях — специальной теории относительности и квантовой механике.
В специальной теории относительности, созданной Эйнштейном в 1905 г., подверглись радикальному пере-
46
смотру ньютоновские представления о пространстве и времени. Этот пересмотр привел к созданию «механики больших скоростей» или, как ее называют, релятивистской механики. Новая механика не привела, однако, к полному отрицанию старой ньютоновской механики. Уравнения релятивистской механики в пределе (для скоростей, малых по сравнению со скоростью света) переходят в уравнения классической механики: Таким образом, классическая механика вошла в релятивистскую механику как ее частный случай й сохранила свое прежнее значение для описания движений, происходящих со скоростями, значительно меньшими скорости света.
