Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
(3.4)
Ii- Af
Iim ~тт д<-»о
= Iim
Д<->0
IAfl
ht
В этом выражении нельзя вместо і Ar 1 писать Ar. Символ IArl означает модуль приращения вектора г,
г
Рис. 19.
в то время как Ar представляет собой приращение модуля вектора г: Ajrj. Обе эти величины не равны друг другу:
I Ar I ф AI г I = Ar.
В этом можно убедиться на следующем примере (рис. 19). Пусть некоторый вектор А получает такое приращение AA, что модуль его не изменяется:
I А + AA 1 = 1 Al.
Следовательно, приращение модуля вектора А равно нулю (Aj А| = AA — 0). В го же время модуль прира-A щепия вектора IAAl
отличен от нуля (он равен длине отрезка
I AA
А+ЛА
і AjAhteA)
—< I I
А+ДА I ДА 1 I
Рис. 20.
2 — 5). Рис. 20 поясняет, что при данном J AA1 приращение модуля AlAj может иметь значение в пределах от —IAAj до + |АА|.
24
Элементарный путь As, вообще говоря, отличен по величине от модуля элементарного перемещения |Arj (рис, 21). Однако, если брать отрезки пут» As и перемещения Ar, соответствующие небольшим промежуткам времени At, то различие между As и |Аг| будет пепе-* лико, причем при уменьшения At путь As с возрастающей точностью будет совпадать с |Arj. IIa этом основании можно написать, что
,. I Ar I .. А.?
uni .- = Uin -гг, м->о M д<-»о
откуда в соответствии с (3.4) для модуля скорости получается следующая формула:
'“.ь(3-5)
§ 4. Вычисление пройденного пути
Из выражения (3.5) следует, что при малых Al
(4.1)
Последнее приближенное равенство выполняется тем точнее, чем меньше At. Если известна величина скорости V как функция времени t, можно вычислить путь, пройденный точкой с момента до момента t2. Для этого разобьем промежуток времени t2 —1\ на N малых промежутков: Atb At2, ..., AtN, которые могут
быть различными по величине. Весь путь s, пройденный точкой, можно представить как сумму путей: Asi, As2, ..., AsN, пройденных за соответствующие промежутки времени А/;
N
S = Asl + As2+ ... + Asn = 2 ASi ').
В соответствии с (4.1) каждое из слагаемых Asi (і — любое число от I до N) может быть приближенно представлено в виде
ASi ss; Vi Ati,
') Так принято записывать сокращенно сумму N слагаемых одинакового вида.
25
где Ati— промежуток времени, за который был пройден путь Asi, a Vi — одно из значений скорости за время Atu Таким образом,
N
S ?? S Vi Ati. (4.2)
(=1
Написанное равенство выполняется тем точнее, чем меньше промежутки времени Ati. В пределе при стрем* лении всех Ati к нулю (количество промежутков Ati будет при этом неограниченно возрастать) сумма, стоящая справа, станет точно равна s:
N
S = ІІШ 2 vi &ti‘ (4-3)
Скорость есть функция времени: v = v(t). В математике выражение вида
N
Hm ^if(Xi)Axi,
AXj->0 і
составленное для значений Xt заключенных в пределах от а до Ь, называют определенным интегралом и записывают символически следующим образом:
ь
J / (я) dx.
а
Следовательно, путь, пройденный точкой за промежуток времени от до h, равен определенному интегралу
и
s=J V (t) dt. (4.4)
и
Покажем, что величину пройденного пути можно представить как площадь фигуры, которая ограничена кривой зависимости величины скорости V от времени t. Построим график функции v = v(t) (рис. 22). Произведение ViAti численно равно площади заштрихованной (і-й) полоски. Сумма таких произведений будет равна площади, ограниченной осью t, прямыми t = tt и / = 4, а также ломаной линией, образованной верхними края-
26
ми всех подобных полосок. При стремлении Ati к нулю ширина всех полосок убывает (одновременно число их растет) и ломаная линия в пределе сольется с кривой
V = v(t).
V
Таким образом, путь, пройденный за время с момента t1 до момента h, численно равен площади фигуры, ограниченной графиком v = v(t), осью времени t и прямыми і — ti и t = I2.
§ 5. Равномерное движение
Движение, при котором скорость, изменяясь как угодно по направлению, остается постоянной по величине, называется равномерным.
При равномерном движении все Vi в формуле (4.3) будут одинаковы и равны v. Общий множитель v можно вынести за знак суммы:
S= Iim V^iAti = V Iim S AU-д^-»о
Сумма элементарных промежутков времени дает время /, за которое точка проходит путь s’). Таким образом, можно написать:
s — vt. (5.1)
Из формулы (5.1) следует, что при равномерном движении скорость равна пути s, деленному на время t, за
') Буква t может применяться как для обозначения промежутка времени (как это сделано в данном случае), так и для обозначения момента времени (так, например, было сделано в начале §3). Следует строго различать эти два случая.
27
которое он пройден:
(5.2)
Согласно (5.2) можно сказать, что скорость при равномерном движении равна по величине пути, проходимому движущейся точкой за единицу времени. При неравномерном движении такое утверждение несправедливо. В этом случае можно сказать, что скорость в данный момент времени t равна по величине тому пути, который прошла бы точка за единицу времени, если бы она в дальнейшем сохранила то значение скорости, которое у нее было в момент t.
