Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 6. Проекции вектора скорости на координатные оси
В определяющем скорость выражении (3.2) под знаком предела стоит вектор . Взяв в (3.2) вместо этого
вектора его проекцию на какое-либо направление, мы, очевидно, получим проекцию вектора V на то же направление:
Подставляя эти выражения в формулу (6.1), получим проекции вектора скорости на координатные оси:
Как видно из рис. 23, проекции вектора Дг на -оси координат равны приращениям соответствующих координат переместившейся точки:
пр. V= Iim . (6.1)
Л#^П
X
(Ar)jr = Дх; (Ar)j, = А у; (Ar)* = Дг.
Рис. 23.
28
В физике производные величин по времени t принято обозначать символом соответствующей величины с точкой над ним, например:
ёк . dr . dr •
HF = *' ~dt~r’ ~dt~T И т- д-
Используя эти обозначения, проекции вектора v на координатные оси можно записать следующим образом:
Vx = X-, Vy = у; Vz = Z. (6.2)
Заметим, что формулы (6.2) можно получить из формул (2.11), положив в последних А = г.
§ 7. Ускорение
Согласно сказанному в § 2 о производной вектора быстрота изменения скорости материальной точки v со временем t характеризуется величиной
,.Avrfv /-7 i\
*”Й^г"-аг- (7J)
Эта величина называется ускорением точки.
Если известны ускорение как функция времени W(/) и скорость V0 в начальный момент (при t — 0), то можно найти скорость v в любой момент времени t. Это осуществляется по формуле:
<
V = V0 + J w dt.
о
В случае, когда w постоянно,
V = Vo + w t. (7.2)
Представим вектор скорости в виде [см. (6.2)]:
V = ivx + jvy + kt^ = I х + \у + к г. Продифференцировав это выражение по t, получим
w = IF ~' Ж ^ + ^ ~dt ^ + к It
Ho -JT (х) есть вторая производная х по t, которую мож-
dt
)
d
но обозначить символом х. Аналогично (у) — у,
df (z) = г. Следовательно,
w — \х + j у + кг. (7.3)
29
Сопоставив (7.3) с формулой (2.8), легко прийти к следующим выражениям для проекций вектора ускорения на координатные оси:
Wx = X, Wy = у, wz = z. (7.4)
§ 8. Прямолинейное равнопеременное движение
При прямолинейном движении вектор скорости все время направлен вдоль одной и той же прямой — траектории, вследствие чего направление вектора w совпадает с направлением вектора v или ему противоположно. Если w совпадает по направлению с v, то скорость растет по величине и движение будет ускоренным. При VV1 противоположном по направлению v, скорость уменьшается и движение будет замедленным.
Прямолинейное движение с постоянным ускорением называется равнопеременным. В зависимости от поведения скорости со временем различают равномерно-ускоренное и равномерно-замедленное движения.
При равнопеременном движении справедлива формула (7.2), причем все входящие в нее векторы V, V0 и w направлены вдоль одной и той же прямой. Спроектировав эти векторы на направление х, совпадающее с направлением вектора V0, получим:
Vx= v0x+wj. (8.1)
Проекции Ojc, v0x и Wx равны модулям соогветствую-щих векторов, взятых со знаком «+», если направление вектора совпадает с направлением х, и взятым со знаком «—», если направление вектора и направление х
п ротивоположны.
Обычно при рассмотрении прямолинейного движения индексы X в уравнении (8.1) опускают и пишут просто:
^ = D0-I-K)/, (8.2)
обращаясь с входящими в уравнение (8.2) величинами как с проекциями векторов. При этом пользуются не вполне строгой (но общепринятой) терминологией, называя, например, w ускорением и считая ускорение положительным или отрицательным в соответствии с тем, какой знак имеет Wx. Интегрируя функцию (8.2) в пре-
30
делах от нуля до произвольного момента времени /, найдем формулу для пройденного пути (см. (4.4)): і
S = J («о + wt) dt = v0t + , (8.3)
о
где w — величина алгебраическая.
Отметим, что эта формула дает правильный результат для пройденного пути только в том случае, если за время t направление движения точки (знак скорости) не изменяется.
§ 9. Ускорение при криволинейном движении
Прежде чем приступить к нахождению ускорения в общем случае, рассмотрим простейший случай криволинейного движения — равномерное движение точки по окружности.
7 V
Рис. 24.
Пусть в рассматриваемый момент времени t точка находится в положении 1 (рис. 24). Спустя время At точка окажется в положении 2, пройдя путь As, равный дуге 1 — 2. При этом скорость точки V получает приращение Av, в результате чего вектор скорости, оставаясь неизменным по величине (при равномерном
31
движении |v| = const), повернется на угол Atp, совпадающий по величине с центральным углом, опирающимся на дугу длиной As:
где R — радиус окружности, по которой движется точка.
Найдем приращение вектора скорости Av. Для этого перенесем вектор (v 4- Av) так, чтобы его начало совпадало с началом вектора v. Тогда вектор Av изобразится отрезком, проведенным из конца вектора v в конец вектора (v + Av). Этот отрезок служит основанием равнобедренного треугольника со сторонами v и (v + Av) и углом Аф при вершине. Если угол Аф невелик (что выполняется для малых At), для сторон этого треугольника можно приближенно написать:
