Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
Вектор Av можно представить в виде произведения его модуля на единичный вектор такого же направления, как и у Av. Обозначим этот единичный вектор л'. Тогда
Деля Av на At и делая предельный переход, получим ускорение
в пределе даст модуль скорости V, единичный BeKTGp п' в пределе сольется с единичным вектором Tl, нормальным к окружности в точке 1 и направленным к центру. Таким образом,
Найденное нами ускорение направлено по нормали к траектории; его называют нормальным ускоре-
1J Нельзя писать Дг. В данном случае Ду = 0.
(9.1)
I Av I S V Аф ’).
Av =) Av I л' = V Афп'.
Подставляя сюда Atp из (9.1), получаем:
А _ . ?Ло /
Av V п .
(9.2)
В этом выражении v и R — постоянные; отношение
(9.3)
32
ниєм и обозначают \v„ (как мы уже поступили в выражении (9.3)). Модуль нормального ускорения.
„2
Wn=-
(9.4)
Рис. 25.
Чем больше искривлена траектория (чем меньше R окружности), тем больше Wn при той же величине скорости V, За меру кривизны принимается величина 1 //?, которую называют кривизной окружности.
Очевидно, что ускорение точки, движущейся по произвольной кривой, также будет зависеть от кривизны траектории, которая в разных точках будет различна. В дальнейшем для простоты мы ограничимся рассмотрением только плоских кривых. Кривизна плоской линии
в какой-либо ее точке равна кривизне окружности, сли-вающєіїся в данном месте с кривой на бесконечно малом ее участке. Такую окружность называют кругом кривизны плоской линии в данной точке. Чтобы получить круг кривизны в точке I (рис. 25), нужно поступить следующим образом. Возьмем на кривой точки 2 и 3, близкие к точке /. Проведем через 1, 2 и 3 окружность. Предельное положение этой окружности, получающееся при неограниченном приближении точек 2 и 3 к точке 1, и будет представлять собой круг кривизны. Радиус этого круга дает радиус кривизны линии в гоч-ке 1, а центр круга — центр кривизны для точки 1.
Аналитически кривизна кривой С определяется выражением
C= Hm = *L,
As-»0 As ds
где Дф —угол между касательными к кривой в точках, отстоящих друг от друга на As (рис. 26). Таким образом, кривизна характеризуется скоростью изменения
Рис. 26.
3 И. В. Сапельси, т. 1
33
Направления кривой, т. е. скоростью поворота касательной при перемещении вдоль кривой. Величина, обратная С, равна радиусу кривизны R. Легко убедиться в том, Что в случае окружности определенный таким образом радиус кривизны совпадает с радиусом окружности.
Обратимся снова к рис. 26. Построим перпендикуляры к касательным в точках 1 и 2. Эти перпендикуляры пересекутся в некоторой точке О', причем расстояния R' и R" будут, вообще говоря, неодинаковыми.
Образуем отношение . Величину As можно приближенно заменить через R'Д<р. Тогда
Аф і
As R'-
Последнее приближенное равенство выполняется тем Точнее, чем ближе ТОЧКИ 1 и 2, т. е. чем меньше As. Устремив As к нулю, мы получим кривизну:
C= Iim = Iim
As->0 As-*О Я
Если точку 2 приближать неограниченно к точке I, пересечение перпендикуляров О' будет стремиться к некоторой точке, которая будет представлять собой центр кривизны. Оба расстояния, R' и R", будут стремиться к одному и тому же пределу R, равному радиусу кривизны. Величина, обратная R, дает кривизну линии в точке I.
Теперь найдем ускорение точки, движущейся по произвольной плоской кривой. Разложим вектор приращения скорости Av (соответствующий промежутку времени А і, за который точка перемещается из положения 1 в положение 2) на две составляющие: Av„ и Avt (рис. 27). Эти составляющие выберем так, чтобы расстояние от точки 1 до конца вектора Avn было равно модулю скорости у в начальный момент. Тогда, очевидно, модуль вектора Avt будет равен приращению модуля скорости:
I AvxI = AI v| = Au.
Ввведя единичный вектор х', совпадающий по направлению с вектором Av1, последний можно представить в следующем виде:
Avx = Дут'. (9.5)
34
Повторив рассуждения, которые привели нас к формуле (9.4), можно получить, что
* As ,
Av„ = V п .
(9.6)
Вектор полного ускорения по определению равен
¦ - Av ,. Avn + Avt ,. Avn , ,. Av
W= Iim -гг= Iim —^lTi—- = Iim —rr+ Iim
At
д*-»о
At
At
At->0
At
С учетом (9.6)
і • Avn .. V As , Iim -гг- = Iim -гг -ттп'. дг-»о АГ &t->o к АГ
As
В пределе даст модуль скорости v, R'— радиус кривизны R, а вектор п' совпадет с п — единичным
вектором нормали к траектории в точке 1. Обозначим этот предел w„:
А „.2
(9.7)
,. Avn V2
w»=,im -дГ = Хп-
д<-»о
Второй предел (обозначим его wT) с учетом (9.5) раЕен
Avt
Af->0
,. Av ,
¦ Iim -тт г'.
ДІ->0 аг
3*
35
При переходе к пределу вектор t' совпадет Ct — единичным вектором, направленным по касательной к траектории в точке / в сторону движения и тождественным единичному вектору скорости V (см. (2.6)):
T = — V
Окончательно,
Итак, вектор w может быть представлен в виде суммы двух векторов Wn И Wt (рис. 28), один из которых
(Wn) перпендикулярен к вектору скорости V и направлен к центру кривизны траектории, а второй (wt) направлен по касательной к траектории. Если скорость