Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Савельев И.В. -> "Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика" -> 9

Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.

Савельев И.В. Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика — М.: Наука, 1970. — 508 c.
Скачать (прямая ссылка): kursobsheyfizikit11970.djvu
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 150 >> Следующая


Вектор Av можно представить в виде произведения его модуля на единичный вектор такого же направления, как и у Av. Обозначим этот единичный вектор л'. Тогда

Деля Av на At и делая предельный переход, получим ускорение

в пределе даст модуль скорости V, единичный BeKTGp п' в пределе сольется с единичным вектором Tl, нормальным к окружности в точке 1 и направленным к центру. Таким образом,

Найденное нами ускорение направлено по нормали к траектории; его называют нормальным ускоре-

1J Нельзя писать Дг. В данном случае Ду = 0.

(9.1)

I Av I S V Аф ’).

Av =) Av I л' = V Афп'.

Подставляя сюда Atp из (9.1), получаем:

А _ . ?Ло /

Av V п .

(9.2)

В этом выражении v и R — постоянные; отношение

(9.3)

32
ниєм и обозначают \v„ (как мы уже поступили в выражении (9.3)). Модуль нормального ускорения.

„2

Wn=-

(9.4)

Рис. 25.

Чем больше искривлена траектория (чем меньше R окружности), тем больше Wn при той же величине скорости V, За меру кривизны принимается величина 1 //?, которую называют кривизной окружности.

Очевидно, что ускорение точки, движущейся по произвольной кривой, также будет зависеть от кривизны траектории, которая в разных точках будет различна. В дальнейшем для простоты мы ограничимся рассмотрением только плоских кривых. Кривизна плоской линии

в какой-либо ее точке равна кривизне окружности, сли-вающєіїся в данном месте с кривой на бесконечно малом ее участке. Такую окружность называют кругом кривизны плоской линии в данной точке. Чтобы получить круг кривизны в точке I (рис. 25), нужно поступить следующим образом. Возьмем на кривой точки 2 и 3, близкие к точке /. Проведем через 1, 2 и 3 окружность. Предельное положение этой окружности, получающееся при неограниченном приближении точек 2 и 3 к точке 1, и будет представлять собой круг кривизны. Радиус этого круга дает радиус кривизны линии в гоч-ке 1, а центр круга — центр кривизны для точки 1.

Аналитически кривизна кривой С определяется выражением

C= Hm = *L,

As-»0 As ds

где Дф —угол между касательными к кривой в точках, отстоящих друг от друга на As (рис. 26). Таким образом, кривизна характеризуется скоростью изменения

Рис. 26.

3 И. В. Сапельси, т. 1

33
Направления кривой, т. е. скоростью поворота касательной при перемещении вдоль кривой. Величина, обратная С, равна радиусу кривизны R. Легко убедиться в том, Что в случае окружности определенный таким образом радиус кривизны совпадает с радиусом окружности.

Обратимся снова к рис. 26. Построим перпендикуляры к касательным в точках 1 и 2. Эти перпендикуляры пересекутся в некоторой точке О', причем расстояния R' и R" будут, вообще говоря, неодинаковыми.

Образуем отношение . Величину As можно приближенно заменить через R'Д<р. Тогда

Аф і

As R'-

Последнее приближенное равенство выполняется тем Точнее, чем ближе ТОЧКИ 1 и 2, т. е. чем меньше As. Устремив As к нулю, мы получим кривизну:

C= Iim = Iim

As->0 As-*О Я

Если точку 2 приближать неограниченно к точке I, пересечение перпендикуляров О' будет стремиться к некоторой точке, которая будет представлять собой центр кривизны. Оба расстояния, R' и R", будут стремиться к одному и тому же пределу R, равному радиусу кривизны. Величина, обратная R, дает кривизну линии в точке I.

Теперь найдем ускорение точки, движущейся по произвольной плоской кривой. Разложим вектор приращения скорости Av (соответствующий промежутку времени А і, за который точка перемещается из положения 1 в положение 2) на две составляющие: Av„ и Avt (рис. 27). Эти составляющие выберем так, чтобы расстояние от точки 1 до конца вектора Avn было равно модулю скорости у в начальный момент. Тогда, очевидно, модуль вектора Avt будет равен приращению модуля скорости:

I AvxI = AI v| = Au.

Ввведя единичный вектор х', совпадающий по направлению с вектором Av1, последний можно представить в следующем виде:

Avx = Дут'. (9.5)

34
Повторив рассуждения, которые привели нас к формуле (9.4), можно получить, что

* As ,

Av„ = V п .

(9.6)

Вектор полного ускорения по определению равен

¦ - Av ,. Avn + Avt ,. Avn , ,. Av

W= Iim -гг= Iim —^lTi—- = Iim —rr+ Iim

At

д*-»о

At

At

At->0

At

С учетом (9.6)

і • Avn .. V As , Iim -гг- = Iim -гг -ттп'. дг-»о АГ &t->o к АГ

As

В пределе даст модуль скорости v, R'— радиус кривизны R, а вектор п' совпадет с п — единичным

вектором нормали к траектории в точке 1. Обозначим этот предел w„:

А „.2

(9.7)

,. Avn V2

w»=,im -дГ = Хп-

д<-»о

Второй предел (обозначим его wT) с учетом (9.5) раЕен

Avt

Af->0

,. Av ,

¦ Iim -тт г'.

ДІ->0 аг

3*

35
При переходе к пределу вектор t' совпадет Ct — единичным вектором, направленным по касательной к траектории в точке / в сторону движения и тождественным единичному вектору скорости V (см. (2.6)):

T = — V

Окончательно,

Итак, вектор w может быть представлен в виде суммы двух векторов Wn И Wt (рис. 28), один из которых

(Wn) перпендикулярен к вектору скорости V и направлен к центру кривизны траектории, а второй (wt) направлен по касательной к траектории. Если скорость
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 150 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed