Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
Ї2
по окружности, криволинешше движение и т. д.
Пусть материальная точка (в дальнейшем мы для краткости будем говорить просто точка) переместилась вдоль некоторой траектории из точки 1 в точку 2 (рис. 3). Расстояние от точ*
Рис. 3.
щение г13, которое приводит к тому же результату, что и первые два перемещения вместе.
Величины такого рода, как перемещение, т. е. характеризующиеся численным значением и направлением, а также складывающиеся по правилу, показанному на рис. 5, называются векторами. К числу векторов принадлежат скорость, ускорение, сила и ряд других величин.
Величины, для задания которых достаточно одного численного значения, называются скалярами. Примерами скаляров могут служить путь, время, масса и т. д.
2 г
Векторы принято обозначать буквами жирного шрифта. Например, вектор перемещения из точки 1 в точку 2 обозначается г^. Ta же буква обычного шрифта означает численное значение или, как говорят, модуль соответствующего вектора1). Для обозначения модуля пользуются также символом вектора, заключенным между двумя вертикальными черточками. Таким образом,
Модуль вектора — скаляр, причем всегда положительный.
На чертежах векторы изображаются в виде прямолинейных отрезков со стрелкой на конце. Длина отрезка в установленном масштабе дает модуль вектора, а указанное стрелкой направление отрезка дает направление вектора.
Показанная на рис. 5 операция сложения векторов символически записывается следующим образом:
') При письме векторы обозначают буквами со стрелкой над
ними (например, r)2). В этом случае та же буква без стрелки означает модуль вектора.
Рис. 4.
Рис. 5.
IAI = А = модулю вектора А, Г|2 I “ f*12 “ МОДУЛЮ вектора ГI2.
Г12 + г23 — Г13-
13
§ 2. Некоторые сведения о векторах
Векторы, направленные вдоль параллельных прямых (в одну и ту же или в противоположные стороны), называются коллинеарными.
Векторы, направления которых параллельны одной и той же плоскости, называются компланарными.
Одинаковые по модулю коллинеарные векторы, направленные в одну и ту же сторону, считаются равными друг другу1). Равные по модулю коллинеарные векторы, имеющие противоположные направления, считаются отличающимися друг от друга по знаку. Так, например, между векторами, изображенными на рис. 6, и их модулями имеются следующие соотношения:
A=B; A=-C; B=-C;
A = B = C или IAI *= I В I = I СI-
Сложение векторов. О том, как складываются два вектора в результирующий вектор, была уже речь в предыдущем параграфе. Рассмотрим теперь этот вопрос
В
Рис. 6.
а)
б)
Рис. 7.
в)
несколько подробнее. Пусть нам даны два вектора А и В (рис. 7,а). Чтобы получить результирующий век-
*) Имеются в виду так называемые свободные векторы, т. е. векторы, которые могут быть отложены из любой точки пространства. Кроме свободных, бывают скользящие векторы, начало которых может скользить по прямой, проходящей через вектор, и связанные векторы, т. е. векторы, приложенные к определенной точке. Последние два вида векторов могут быть выражены через свободные векторы; по этой причине в основу векторного исчисления положено понятие свободного вектора, называемого обычно просто вектором.
14
тор С, перенесем вектор В параллельно самому себе так, чтобы его начало оказалось совмещенным с концом вектора А1) (рис. 7,6). Тогда вектор С, проведенный из начала вектора А в конец вектора В, будет представлять собой результирующий вектор:
Можно, однако, осуществить построение несколько иным способом (рис. 7,в). Перенесем вектор В (или А) так, чтобы начала обоих векторов оказались совмещенными. Затем построим на векторах А и В параллелограмм. Диагональ этого параллелограмма, очевидно, совпадает с вектором С, полученным по способу, показанному на рис. 7,6. По этой причине иногда говорят, что векторы складываются по правилу параллелограмма.
Оба рассмотренных способа — 6) и в) — дают одина-ковый результат. Однако в случае сложения более чем двух векторов способ 6) оказывается более простым и удобным. Пусть даны векторы А, В, С и D (рис. 8). Перенесем векторы параллельно самим себе таким образом,
чтобы начало последующего вектора оказалось совмещенным с концом предыдущего. Получится ломаная линия. Результирующий вектор будет представлять собой вектор Е, проведенный из начала первого из слагаемых векторов А в конец последнего D. Легко убедиться в том, что результирующий вектор E не зависит от последовательности, в которой складываются заданные векторы. На рис. 8,б показан случай E = A+ B + C+D, а на рис. 8, в — случай E = D + B + C + A.
') Такой перенос можно рассматривать как замену вектора В равным ему вектором, имеющим начало, совпадающее с концом вектора А.
C = A +В.
а)
б)
е)
Рис. 8.
Т5
Вычитание векторов, Разностью двух векторов A-B называется такой вектор С, который в сумме с векто-
Рнс. Ю.
ром В дает вектор А (рис. 9). Поскольку разность А — В может быть представлена в виде
А— В = А + (— В),
вектор C = A — В можно получить, сложив вектор А с вектором, равным по величине вектору В, но имеющим 2 противоположное ему