Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Савельев И.В. -> "Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика" -> 6

Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.

Савельев И.В. Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика — М.: Наука, 1970. — 508 c.
Скачать (прямая ссылка): kursobsheyfizikit11970.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 150 >> Следующая


А = AJ + A,d\ -f Л^к. (2.8)

Таким образом, любой вектор можно выразить через его проекции на координатные оси и единичные векторы (орты) этих осей.

Производная вектора. Предположим, что вектор (2.8) изменяется со временем по известному закону A(t). Это означает, что проекции вектора на координатные оси представляют собой заданные функции времени t:

A (t) = і Ax (t) + j Ay {1) + к Az (?)

(если координатные оси не поворачиваются в пространстве, орты осей со временем не изменяются).

Пусть за промежуток времени At проекции вектора получают приращения ЛЛЖ, Л А АЛг, в результате чего сам вектор получает приращение ДА = ІДAx + \hAy +.

1J Применяются также обозначения: еж, с„, е*.

20
+ кДAz. Скорость изменения вектора А со временем і можно, очевидно, охарактеризовать отношением

AA Д/4 jf АЛ» АЛ» .

"лГ = 5 ~лГ + ы + k л/ *

Написанное нами выражение дает среднюю скорость изменения А в течение промежутка времени At. Пусть А изменяется со временем непрерывно, без скачков. Тогда чем меньше промежуток Дt, тем точнее величина (2.9) характеризует скорость изменения А в любой из моментов времени, принадлежащих промежутку At. Таким образом, скорость изменения вектора А в момент времени / равна пределу выражения (2.9), получающемуся при неограниченном уменьшении At:

Скорость изменения A= Iim-TT- =

Ai-J.0

AAje A An АЛ?

= i Iim -др + k Hm -др*

Д<-»О лг Af-»0 Д<-*0

Предел отношения приращения функции Af к приращению аргумента At, получающийся при стремлении At к нулю, называется производной функции f по t

и обозначается символом Следовательно, скорость

изменения со временем вектора А равна

йК dAr йА„ йА,

Сопоставляя полученное выражение с формулой

(2.8), легко видеть, что стоящие в (2.10) множители

dK

при ортах суть проекции вектора на оси координат: dA \



dt /Ilp X dt

(•

MM __ ЛАу ¦

V dt /ир у (•

dt

-L-

dt /пр г dt

(2.11)

Нужно быть очень аккуратным в обозначениях. Так,

<7А

например, проекцию вектора на ось х нельзя обозначить символом > петому что такой символ по

21
аналогии с Ajc будет означать составляющую вектора по оси х. Нельзя также обозначать эту проекцию

символом (подобно обозначению проекции век-

тора А символом Ax), так как |~^"|* вообще говоря, отличен от J-^j-j. Поэтому приходится прибегать к обо-значениям вида (~п-| и т. д.

\ йі /пр х

§ 3. Скорость

Положение материальной точки (в дальнейшем для краткости мы будем говорить просто точки) в пространстве можно задать с помощью радиуса-вектора г.

При движении точки вектор г изменяется, вообще говоря, и по величине, и по направлению 1J.

Зафиксируем некоторый момент времени t. Ему соответствует значение г радиуса-вектора (рис. 16). В течение следующего за моментом t небольшого промежутка х времени At (мы будем называть его элементар* ным) точка проходит элементарный путь As и получает элементарное перемещение Ar, которое совпадает с приращением радиуса-вектора за время At2).

Рис. 16.

1) Рекомендуется в порядке упражнения указать траекторию, для которой радиус-вектор точки изменяется: а) только по величине, б) только по направлению.

2) Символом Д (дельта) мы будем пользоваться в двух случаях:

а) для обозначения доли какой-либо величины. Например, в рассматриваемом случае At есть часть всего времени, в течение которого происходит движение, As — часть всего пути, проходимого точкой;

б) для обозначения приращения какой-либо величины. В данном случае Дг есть приращение радиуса-вектора г за время At.

22
Образуем отношение

Ar

At

(3.1)

При данном t модуль и направление вектора (3.1), вообще говоря, зависят от величины промежутка At, Станем уменьшать At (соответственно будут также уменьшаться As и Дг), наблюдая при этом за поведе* ниєм отношения (3.1). Оказывается, что по достижении достаточно малых значений At вектор (3.1) практически перестает изменяться как по величине, так и по направлению. Это означает, что при стремлении At к нулю отношение (3.1) стремится к определенному пределу. Этот предел называется скоростью v движущейся точки в момент времени t. Символически сказанное выше за* писывается следующим образом:

V= Iim 4т. (3.2)

д<-»о

At *

Итак, скоростью называется предел, к которому стремится отношение Дг к At при неограниченном убывании At. Следовательно, скорость можно определить как производную радиуса* вектора движущейся точки по времени:

V =

dr

dt

(3.3)

Как следует из ее определения, скорость есть величина векторная.

Из рис. 17 видно, что Дг

вектор -JJ является секу*

щей для траектории.

При предельном переходе (3.2) точки пересечения этого вектора с траекторией все более сближаются (As стремится к нулю), сливаясь в конечном итоге в одну точку, вследствие чего секущая превращается в касательную. Таким образом, вектор скорости оказывается направленным по касательной к траектории в соответствующей точке (рис, 18).

23
В соответствии с формулой (3.2) модуль вектора скорости может быть записан следующим образом:
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 150 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed