Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
/ dv
растет по величине I-^- положительно), то Wt направлен в сторону движения, если скорость по величине
убывает отрицательно|, то Wt направлен в сторону, противоположную направлению движения.
Вектор Wt называют тангенциальным ускорением. Он характеризует изменение скорости по вели-
чине. Если скорость по величине не изменяется, тангенциальное ускорение равно нулю и w = wn.
Вектор wn (нормальное ускорение) характеризует изменение скорости по направлению. Если направление скорости не изменяется, движение происходит по прямолинейной траектории. Кривизна прямой равна нулю (радиус кривизны R соответственно равен бесконечности), следовательно, нормальное ускорение равно нулю и
W = Wt.
В общем случае модуль полного ускорения равен (рис. 26):
w=Vwi+w\=Y ШМж)2-
36
§ 10. Кинематика вращательного движения
Все точки абсолютно твердого тела, вращающегося вокруг некоторой оси OO (рис. 29), движутся по окружностям, центры которых лежат на оси вращения. Радиус-вектор каждой точки (вектор, проведенный из центра соответствующей окружности в данную точку) поворачивается за время At на один и тот же угол Дф — угол поворота твердого тела.
Поворот тела на некоторый угол Ф можно задать в виде отрезка, длина которого равна ф, а направление совпадает с осью, вокруг которой совершен поворот. Для того чтобы указать, в какую сторону совершается поворот вокруг данной оси, можно условиться связывать направления поворота и изображающего его отрезка так называемым правилом правого винта. Согласно этому правилу направление отрезка должно быть таким, чтобы, глядя вдоль него (рис. 30), мы видели поворот совершающимся по часовой стрелке (вращая головку правого вин-^ та по часовой стрелке, мы вызовем его перемещение ОТ себя). Таким образом, повороту тела можно приписать численное значение и направление. Однако этого еще недостаточно для того, чтобы поворот Рис. 30. можно было считать векто-
ром, — нужно, чтобы изображаемые таким способом повороты складывались по правилу параллелограмма. Для поворотов произвольной величины последнее условие не выполняется. Покажем это на примере вращения сферы (рис. 31). Поворот сферы вокруг оси 1 — / на угол я/2 (этот поворот изображен
отрезком фі) и рледующий за ним поворот вокруг оси
2 — 2 на л/2 (отрезок фг) приводят к тому, что точка сферы А перемещается сначала в положение А', а затем
37
в положение А”. Поворот, который изображается полученным из (pi и (р2 по правилу параллелограмма отрез-
Z J
Рис. 31.
КОМ Фз (этот отрезок имеет длину ЛІУЮ. переводит точку А в положение В, не совпадающее с А". Следовательно, поворот, изображаемый отрезком фз, вовсе не равнозначен поворотам ф[ и ф2, совершаемым один за другим, и поэтому не является их суммой. Таким образом, мы убедились в том, что, хотя поворот тела вокруг оси можно изобразить направленным отрез-ком, его нельзя считать вектором.
Иначе обстоит дело для очень малых углов поворота Аф. Путь, проходимый любой точкой тела при очень малом повороте, можно считать прямолинейным. Два совершаемых последовательно малых поворота Дф( и Дфг обусловливают, как видно из рис. 32, такое же
Рис. 32.
38
перемещение Дгі + Дг2 любой точки тела, как и поворот Дфз, получаемый из Дсрі и Дф2 по правилу параллелограмма. Отсюда следует, что очень малые повороты могут рассматриваться как векторы (мы будем их записывать в виде Дф или d(p).
Направление вектора dtp мы определили, связав его определенным образом с направлением вращения тела. При рассмотрении таких величин, как скорость v, ускорение w, радиус-вектор г, не возникал вопрос о выборе их направления: оно вытекало естественным образом из природы самих величин. Подобные векторы называются полярными. Векторы типа dq>, направление которых связывается с направлением вращения (или обхода), называют аксиаль-иыми векторами.
Векторная величина
—<“>¦¦>
(где Дt — время, за которое совершается поворот Дф) называется угловой скоростью тела1). Вектор о направлен вдоль оси, вокруг которой вращается тело в сторону, определяемую правилом правого винта (рис. 33), и представляет собой аксиальный вектор.
Модуль вектора угловой скорости равен -^jf-. Вращение с постоянной угловой скоростью называется равномерным, при этом со = фIt. Таким образом, при равномерном вращении и показывает, на какой угол поворачивается тело за единицу времени.
Равномерное вращение можно характеризовать периодом обращения Т, под которым понимают время, за которое тело делает один оборот, т. е. поворачивается на угол 2я. Поскольку промежутку времени Дt — T соответствует угол поворота Дф = 2я,
со =-у-, (10.2)
') Чтобы отличить рассмотренную нами ранее скорость v or угловой скорости, се называют линейной. В дальнейшем в случаях, когда это не сможет привести к недоразумениям, слово «линейная» мы будем опускать.
3&
й
I
I
О
Рис. 33.
откуда
Т = ~. (10.3)
Число оборотов в единицу времени V, очевидно, равно v=f = ^. (10.4)
Из (10.4) следует, что угловая скорость равна 2я, умноженным на число оборотов в единицу времени:
