Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
первая вариационная формула вариационного исчисления.
Она получается в рамках общепринятой формулировки вариационной задачи,
когда вариации сечений s расслоения Y -> X порождаются локальными 1-
параметрическими группами преобразований расслоения Y. Оператор Эйлера-
Лагранжа ffL по определению обращается в 0 на критических сечениях
расслоения Y -> X, и равенство (А.З) сводится к слабому тождеству
s'b^L ~--------------- s' - и) - их S/Л ш, (А.4)
dxА
где тг? = д?S/'. Если лагранжиан L удовлетворяет сильному равенству
(А.2), слабое тождество (А.4) превращается в закон сохранения тока
Тх = - и{) - uS/S
Большинство дифференциальных законов сохранения в теории поля может быть
получено таким способом, включая законы сохранения энергии-импульса и
тождества Нетер.
Пространство струй бесконечного порядка
В целях дальнейшего изложения, приведем основные понятия формализма струй
бесконечного порядка.
Пространство струй бесконечного порядка J^Y определяется как проективный
предел обратной последовательности
х ^L-Y ...JT~'YS^1 Jty'S- ... .
Пространство J^Y наделяется топологией проективного предела и
параметризуется координатами
/ a i i \
(х ,У , • • • ,2/а,...а,., • • •)
где А!...Аг - наборы чисел по модулю перестановок. Хотя оно не является
вполне хорошим многообразием, на нем можно задать пучки гладких функций,
векторных полей, дифференциальных форм и ввести дифференциальное
исчисление.
Векторное поле иТ на многообразии струй JTY называется проектируемым,
если для любого к < г существует векторное поле ик на JkY -> X, такое что
ик о жТк = Тжтк о и .
Касательный морфизм Ттт[ отображает проектируемые векторные поля на JrY в
проектируемые векторные поля на JkY. Линейное пространство проектируемых
векторных полей на J°°Y определяется как предел обратной системы
проектируемых векторных полей на многообразиях струй конечного порядка. В
частности, всякое проектируемое векторное поле
и = их д\ + u'di
¦на расслоении Y -> X может быть продолжено до проектируемого векторного
поля иг на JTY и до проектируемого векторного поля гГ° на J°°Y. Имеет
место его каноническое расщепление
-ОС оо , ОС
и =ин +uv,
Приложение А. Вариационное исчисление и законы сохранения
195
"я = ихдГ = их (дх + у'хд{ + ...),
uv = ... .Siva---Afc,
k=0
где uv - вертикальная составляющая канонического расщепления (1.57)
векторного поля 7Го"и, индуцированного на J[Y посредством 7Tq.
Базис внешних дифференциальных форм на J^Y может быть образован из
горизонтальных форм dxx и так называемых к-контактных форм
dyxy..xk =d-y'\{...\k -y'xt...xkVdx".
Обозначим подпространство внешних форм на JXY, натянутое на всевозможные
внешние произведения горизонтальных r-форм и А;-контактных форм dy'Xl_Л
Тогда пространство внешних m-форм на JXY допускает каноническое
разложение
0m = fim'° (r) fi"-''1 ф ... ф О0'"1.
Обозначим hk проекцию
• /-ч^тт /"ч^тт - k,к
гьк : И -> U
В частности, горизонтальная проекция hn представляет собой замену
dH\i...xk -* y\v..xL.udx''¦
Эта операция применима и к внешним формам на многообразиях струй
конечного порядка JTY, индуцированным на JT+iY.
Оператор внешнего дифференцирования внешних форм на J^Y тоже
раскладывается в сумму
d - dH -f- dy (A.5)
оператора горизонтального дифференцирования
dH : W'k -* nr+l'fc
и оператора вертикального дифференцирования
dv :ПгЛ -*(Y'k+l,
которые удовлетворяют соотношениям
dxjdtf - 0, dydv - 0, dvdH -f- djjdy - 0.
В координатах эти операторы имеют вид
dH<j> = dx* Л д^(ф), д^(ф Л а) = д(tm)(ф) Л а + ф Л д"(<г), d~(f) = d(tm)f,
/€П°, d*(dxx) = 0, d(tm)(dy'Xl...Xk) = dy'Xt...Xk)i,
196
Приложение А. Вариационное исчисление и законы сохранения
и
ОО
dvdy'Xl...Xk = -dx" A dyXu..Xkll, dvdyXl,"Xk = 0.
Заметим, что для внешних форм а на многообразиях струй конечного порядка
JrY разложение (А.5) принимает вид
Вариационное исчисление
Пусть Y -> X - расслоение, параметризуемое координатами (хЛ,у'), и s
обозначает его сечения. Пусть N - некоторое п-мерное компактное
подмногообразие X с границей dN. Гладкой вариацией с фиксированной
границей сечения s, определенного на открытой окрестности U
подмногообразия N, считается 1-параметрическое семейство сечений st на U,
таких что st=0 = s на U и st = s в некоторой окрестности 8N. Можно
показать, что всегда существует вертикальное векторное поле " наГ,
обращающееся в 0 в окрестности TC~'(dN), которое порождает такую
вариацию. Оно называется вариационным векторным полем.
Пусть задана некоторая n-форма р на многообразии струй JTY. Сечение s
расслоения Y называется критическим сечением (critical section)
вариационной задачи для формы р, если для всякого вертикального
векторного поля и на расслоении Y -* X, которое обращается в 0 на
некоторой окрестности T(~[(dN), имеет место равенство
Однако разложение (А.8) оказывается не вполне удовлетворительным для
получения условий на критические сечения, если первый член в этом
разложении зависит от производных векторного поля и и тем самым может
