Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
где
t; = -j= (тгГ-^Г - м)
- метрический тензор энергии-импульса калибровочных полей.
Для всякого заданного решения А уравнений Янга-Миллса выберем лифт (А.35)
векторного поля т на расслоение С посредством самой связности А. В этом
случае закон сохранения энергии-импульса (А. 36) на критическом сечении А
принимает форму
r%V\9T(V) " - <^м)
и сводится к известному ковариантному закону сохранения
\/|7TVa^~0. (А.37)
Отметим, что при произвольном выборе связности В, соответствующий закон
сохранения энергии-импульса (А.36) отличается от ковариантного закона
сохранения (А.37) на нетеровский закон сохранения
ЗаОС^С) " о,
где
/ т - тп | I п \ <-\1/
и^ = (д"а +сп1к"а )дгп,
т U / Т-> 771 t 771 \
а = т (Вh -А"),
- вертикальное векторное поле на расслоении С, отвечающее его
калибровочным изоморфизмам.
Условие общей ковариантности
Рассмотрим теперь класс расслоений Т -> X, которые допускают каноническое
поднятие векторного поля т на X. Они называются геометрическими
расслоениями (bundles of geometric objects).
Пусть т = - векторное поле на многообразии X. Существует его
каноническое
поднятие
д
т = Тт = + д^х -- (А.38)
м дха
на касательное расслоение ТХ над X. Обобщая (А.38), можно построить
канонический лифт векторного поля на следующие расслоения над X (мы будем
обозначать все эти поднятия одним и тем же символом т):
Т = тЧ, + [д^х^:ФТ + • • • - - • • ¦] -jJ-
на тензорное расслоение
, 771 к
Т*Х = ((r)ТХ)(r)((r)Т*Х);
ОХРг-Рк
т = т'*9м + [д"так''рц - dpT^k^yp - д^к*р" - Дзмт"]
дка0И
на расслоение Cw общих линейных связностей на X.
___________Приложение А. Вариационное исчисление и законы
сохранения___________205
Заметим, что векторное поле т на геометрическом расслоении Т можно
считать ассоциированным с некоторой локальной 1-параметрической группой
(голономных) изоморфизмов Т, индуцированных диффеоморфизмами базы X. В
частности, если Т = ТХ, это касательные изоморфизмы. Будем называть такие
голономные изоморфизмы общими ковариантными преобразованиями.
Пусть Т - геометрическое расслоение и L - лагранжиан на соответствующем
конфигурационном пространстве JlT. Рассмотрим некоторое векторное поле т
на базе X и его канонический лифт т на Т. Применим первую вариационную
формулу (А. 18), чтобы получить соответствующий закон сохранения энергии-
импульса. Предположим, что лагранжиан L инвариантен относительно общих
ковариантных преобразований, т. е.
L.-L = 0. (А.39)
чт
Подставив это условие в (А. 18), мы приходим к слабому закону сохранения
0 к dHh0(r j ?.?,). (А.40)
При этом можно показать, что сохраняющаяся величина сводится к
суперпотенциалу.
Проиллюстрируем этот факт на примере тензорного расслоения Т -> X,
параметризуемого координатами (хх,уА) с коллективным индексом А.
Канонический лифт векторного поля т на такое расслоение дается выражением
т = тхдх + uAidf}TadA.
Если лагранжиан L инвариантен относительно общих ковариантных
преобразований, он удовлетворяет сильному условию (А.39), которое в
данном случае имеет вид
да{та^) + uAidpTadA2' + д"(ил* дрта)д^ - у*д0тад%& = о. (А.41)
Это условие справедливо для всех векторных полей т. Поэтому в силу
произвольности
функций т" равенство (А.41) эквивалентно системе равенств
дх& = 0, (А.42а)
afjs* + uAidA5? + d^uAi)drA^ - уАдрА& = о, (A.42b)
uAid^ + = 0. (А.42с)
Равенство (А.42Ь) можно привести к виду
&& + uAi6A& + d^uAid^) = y?di 2>, (А.43)
где (5Л2? - вариационные производные лагранжиана L. Подставив (А.43) и
(А.42с) в слабое тождество (А.40), мы получим закон сохранения
0 и дх [-илх6А&та - д,(иАХад^та)} ,
где сохраняющаяся величина сводится к суперпотенциалу
' их"(т) = -иАХд^та.
206
Приложение А. Вариационное исчисление и законы сохранения
Энергия-импульс гравитационного поля
Эйнштейновская теория гравитации и аффинно-метрическая теория гравитации
являются полевыми моделями как раз на геометрических расслоениях, и их
лагранжианы инвариантны относительно общих ковариантных преобразований.
Поэтому к ним можно применить изложенную в предыдущем разделе технику для
исследования закона сохранения энергии-импульса гравитационного поля.
Эйнштейновская теория гравитации, где динамическими переменными являются
компоненты псевдоримановой метрики, является лагранжевой моделью второго
порядка, хотя и вырожденной. Поэтому мы здесь на ней не будем
останавливаться. Отметим только, что закон сохранения энергии-импульса
гравитационного поля в этой модели, обусловленный инвариантностью
гильберт-эйнштейновского лагранжиана относительно общих ковариантных
преобразований, имеет вид
~ Тх(т) "0, Тх " A- Ui'x(t), (А.44)
ахх ахх
где
и*\т) = -¦ - <ГТ*) (А.45)
- известный суперпотенциал Комара. Символами здесь обозначены
ковариантные производные по связности Леви-Чивита.
Этот результат обобщается в рамках аффинно-метрической теории гравитации
на случай общей линейной связности Kayti и произвольного лагранжиана L,
инвариантного относительно общих ковариантных преобразований.
