Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
это отображение непрерывно, и тройка Р = (S(U), тг, X) образует
расслоение. Слоем этого
210
Приложение В. Когомологии со значениями в пучках
расслоения над точкой х ? X является стебель SI = тг '(ж), на котором
индуцируется дискретная топология (ее базу составляют сами элементы sx 6
5Х).
Пример В.2. Пусть X - топологическое пространство и 5Ц - абелева группа
всех постоянных вещественных функций на U. Росток sx элемента s 6 Sv, х ?
U, однозначно определяется значением s(a;) в точке х. Стеблем 5Х является
множество действительных чисел Е, в котором введена дискретная топология.
Пучок Р = (S(X), тг, X) называется постоянным пучком с коэффициентами в
Ш. ?
Пучок, порождаемый предпучком из Примера В.1, называется пучком ростков
непрерывных функций. Соответственно, если X - многообразие, определяется
пучок ростков гладких функций.
Два разных предпучка могут порождать один и тот же пучок. Например, тот
же пучок ростков непрерывных функций порождается и предпучком только
ограниченных функций.
По пучку можно построить предпучок. Обозначим Г({/, Р) множество всех
сечений расслоения Р над U С X. Оно наделено структурой абелевой группы,
нулем которой является нулевое сечение х -> 0Х. Сопоставим каждому
открытому множеству U С X группы Г({/, Р) (при U =0 группу Г({/, Р) по
определению считаем нулевой) и любым двум открытым множествам U и V С U -
гомоморфизм
гиу : T{U, Р) - (У, Р),
относящий каждому сечению пучка Р над U его ограничение на У. В
результате получим предпучок (Г({7, Р), Гу}, называемый каноническим
предпучком пучка Р. Можно показать, что пучок, порождаемый предпучком
(Г({/, Р), Гу}, совпадает с пучком Р.
Для пучка ростков непрерывных функций Г({/, Р) - абелева группа
непрерывных вещественных функций на U, т. е. Г({/, Р) - Sv.
Пусть пучок Р порожден некоторым предпучком {Sv, Гу}. Сопоставим каждому
элементу s 6 Sv сечение hv(s) пучка Р над U, сопоставляющее всякой точке
х 6 U росток sx в точке х. Это сопоставление s -> hv(s) определяет
гомоморфизм абелевых групп
hu-.Su - T(U, Р).
Эти гомоморфизмы перестановочны с гомоморфизмами г у, т. е.
Tyhu = hyTy,
и определяют гомоморфизм предпучка {Sv, г у} в предпучок {T(U, Р), Гу}. В
общем случае этот гомоморфизм не является ни мономорфизмом, ни
эпиморфизмом.
Прежде чем перейти к когомологиям, рассмотрим точные последовательности
пред-пучков и пучков.
Пусть имеется последовательность предпучков над одним и тем же
топологическим пространством
...->Sq-> 55+1->S4+2-(B.l)
где стрелки обозначают гомоморфизмы пучков. Пусть для каждого U С X
соответствующая последовательность абелевых групп
...^Sb^Stf'^Sl*2^... (В.2)
является точной, т. е. образ предыдущего гомоморфизма совпадает с ядром
последующего. Тогда последовательность (В.1) тоже является точной. При
переходе к прямому
Приложение В. Когомологии со значениями в пучках
211
пределу свойство точности последовательности сохраняется. Поэтому для
каждой точки х ? X индуцируемая последовательностью (В.2)
последовательность стеблей
...-^5'-^5Г'- 5Г2 - (В.З)
тоже является точной. Последовательность (В.З) для каждого х определяет
последовательность пучков
... -> Рч -> Рч+' -> Ря+2 -> ..., (В.4)
порождаемых предпучками S4, где стрелки обозначают послойные отображения
расслоений, тождественные на базе X и являющиеся гомоморфизмами абелевых
групп на слоях. Из точности последовательности (В.З) следует точность
последовательности (В.4). Таким образом, точность последовательности
предпучков (В.1) приводит к точности последовательности порождаемых этими
предпучками пучков (В.4).
Последовательность пучков (В.4) индуцирует последовательность групп
сечений
... -> Г(17, Рч) T(U, Р,+ 1) -* Г(17, Рч+2) (В.5)
но важно отметить, что эта последовательность не является, вообще говоря,
точной, хотя образует коцепной комплекс, поскольку гомоморфизм
pi о 6 ря+2
индуцирует гомоморфизм
T(U, Рч) -> О G Г(U, Рч+2).
Перейдем теперь непосредственно к определению когомологий со значениями в
пучках. Пусть S - некоторый предпучок над топологическим пространством X
и пусть {Ui}tfi - открытое покрытие X. Определим в качестве р-мерной
коцепи (покрытия {U} с коэффициентами в S) функцию /, сопоставляющую
каждой последовательности (г0, • • •, гр) индексов из множества I
некоторый элемент f(i0, ..., ip) группы
Sv, V = ?/io П ... П Uip.
Все такие p-мерные коцепи очевидным образом образуют абелеву группу Ср
({?/}, S) относительно формального сложения, а формула
р+|
(6pf)(i0, ..., гр+1) = Y2(-l)kr%L(f(i0, 'ik, ..., гр+1)),
А:=0
w = uien...n uip+l, wk = uion...nuikn...n uip+l,
определяет гомоморфизм
6Р : CP({U}, S>-> C(p+l)({U}, S).
Легко проверить, что
6Р+16Р = О
212
Приложение В. Когомологии со значениями в пучках
и определены группы когомологий
HP({U}, S) = Кегйр/1ш 6Р~'.
Эти группы зависят от покрытия {?/}. Пусть покрытие {F} вписано в
покрытие {U} (т. е. если ?/; П V, /0, то F, С ?/,). Как можно показать,
это индуцирует гомоморфизм
