Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
инвариантных относительно действия подгруппы Я. Более того,
[ЖХ, Жн\ С Ж~н,
§ 2. Многомерная гравитация
179
и поэтому Ля является подалгеброй Ли в Ж', которая может быть
отождествлена с алгеброй Ли группы К - N/H.
Введем также ортогональное дополнение алгебры Ли .Ж
= Ж + &N, [Ж, &N ] С &N ,
Обозначим Ад(д) морфизмы присоединенного представления G на Л ¦ Тогда для
п ? N матрица Л(п) имеет следующий вид
где Л-(п) - матрицы представления N на Ж, а Л;'(Л - матрицы представления
7V на {Жн + ^v).
Обозначим тл фундаментальное поле на Е, отвечающее генератору IА группы
преобразований G на Е:
Поскольку имеется гомоморфизм алгебры Ли ^ в алгебру Ли векторных полей
на ,Е, образом которого являются фундаментальные поля, получаем
Векторы rA(q) в q S Е касательны к линиям, вдоль которых переносится
точка q под действием преобразований exp(tIA) при малых параметрах t.
Поэтому все они лежат в вертикальном пространстве VqE к Е в точке q, т.
е. в подпространстве, касательном к слою Ех, х S М, расслоения Pn/h,
проходящего через точку q ? Е (к орбите G(q) = E^iq) в Е). В частности,
поскольку
система векторов {rA(q)} не является линейно независимой в VqE.
Из определения (4.26) следует, что поля т, (см. обозначения (4.25))
исчезают на подмногообразии Q в Е, поскольку qE = q, q S Q-, тогда как
векторы {ra(g)} линейно независимы в точках q ? Q, а векторы тП|
касательны к Q. Следовательно {т"(д)} линейно независимы и в некоторой
окрестности U подмногообразия Q в Е так, что
?РН - Жп + , \Ж, ] С &N,
(Л - + ^я + .
(4.24)
Фиксируем в алгебре Ли ^ базис 1А:
На, 1в] = ?в1о, согласованный с разбиением (4.24), т.е.
Ia = {Ii, L . I, 6 3(Г, L € Жн},
1а - {7а|, I"2 : Iat S Жн, /"2 ? 5^}'
(4.25)
тЛ(д) = - (qexp(siA))\s=0.
(4.26)
[гa, TB](q) = cABTD(q), q <Е Е.
(4-27)
dim VqE = dim G - dim H < dim G
[Ta, TfiKq) = fZpTyiq), qeu.
(4.28)
180
Глава 4. Геометрии пространства-времени
Сравнивая (4.28) с (4.27), получаем, что
Гац(я)тМ) = CZ0 TA(q), qeU,
fZM) = clt3> Q ? Q-
Беря от обоих частей этого равенства коммутатор с полем т6 в точках
подмногообразия Q, находим
т*(f20)(q) = Сс}А - <?а0cl = ёаРcl. (4.29)
Из (4.26) также следует (с учетом Т;(д) = 0, q ? Q), что
Ta(qn) = ht{n)Tp(q), q ? Q, n ? N. (4.30)
Рассмотрим теперь G-инвариантную метрику g на E,т. с. производные Ли
метрики д вдоль полей тА равны 0. Покажем, что д определяет следующие
объекты:
• G-инвариантную метрику hx на каждом слое Ех;
• G-инвариантное распределение горизонтальных пространств HqE, q G Е, на
Е, или эквивалентно связность на главном расслоении Р^/н\
• метрику 7 на М.
Обратно, метрика д однозначно восстанавливается по указанным выше
величинам. Метрика д на Е задает скалярное произведение двух вертикальных
векторов и тем самым индуцирует G-инвариантную метрику hx на каждом слое
Ех. Эту метрику достаточно знать в какой-либо одной точке q ? EI=r(q)
слоя Ех, из которой, используя ее G-инвариантность, она может быть
перенесена во все точки слоя Ех. Выберем некоторое локальное сечение <т :
М -+ Q главного расслоения PN/t], определяющее карту этого и
ассоциированного с ним расслоений в окрестности х ? М, и будем задавать
метрику hx ее значением
h(x) = д{а{ х))
в точке q = (т(х) ? Q. В качестве базисов вертикальных касательных
пространств VqE в точках q ? Q можно выбрать линейно независимые векторы
(та(д)}. В таком базисе метрика h(x) имеет компоненты
К0 = ga0(q) = gq(Ta(q),T0(q)).
При переходе к другому локальному сечению
<т'(х) = a(x)n(x), п(х) ? N,
используя закон преобразований (4.30), получаем
h'a0 = ga0 (qn) = AS (n)A0 (n)g^(q) = AS (n)A0 (n)/i"".
В частности, если n ? H С jV, то a - а' и
A"/J=AS(n)Aj(n)A<11/1 (4.31)
§ 2. Многомерная гравитация
181
т. е. матрица haf3(ж) является Я-инвариантной. Причем, поскольку [^,
Jt^j\ = 0 и матрицы A"(n), п G Я, имеют вид
из условия (4.31) можно получить ограничения на форму матрицы ha/3, а
именно:
Отсюда следует, что векторы ra,(q) и тП1(д). q Е Q, ортогональны
относительно метрики д, а тем самым векторы таг ортогональны
подмногообразию Q.
Обозначим НЯЕ ортогональное относительно метрики д дополнение в
касательном пространстве ТЧЕ к Е в точке q G Е вертикального пространства
VqE. В частности, пространства НЯЕ в точках q G Q ортогональны векторам
та1, а значит являются касательными к подмногообразию Q. Прямая сумма HqE
и пространства VqQ, натянутого на векторы rat(q), касательные к слою
Qx="(q), образует касательное пространство к Q в точках q Е Q. Поскольку
метрика д является G-инвариантной, распределение НЯЕ тоже G-инвариантно,
т. е.
Тем самым распределение HqE при ограничении на многообразие Q
удовлетворяет всем требованиям к распределению горизонтальных
подпространств на главном расслоении Q = Pn/h , и, следовательно, вводит
некоторую связность на Pn/h-
Метрика 7 на М задается следующим образом. Пусть t, t! - два касательных
вектора к М в точках ж ? М. Выберем произвольную точку q в слое Ех над х
