Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
2)-матрица, а операция "t" задается по правилу
s )-¦-(_? г
где В, С, D, Е - (4 х 4)-матрицы, а "Г" - обычное транспонирование. В
представлении (4.46) четный сектор пространства У4,4 реализует 4-
векторное представление алгебры Лоренца so(l, 3), а нечетный сектор -
действительное (майорановское) спинор-ное представление алгебры so( 1, 3)
С sp{4) матрицами
Ь21 =
Loi =
1 , ( °'2 0
Ь\2 = 2г ^ [о сг2
1 / 0 о1
Lq2 - 2 ( а1 0
1 ( 0 -а
L 23 = 2 ( сг1 0
1( ' 0 а3 '
2 \ -<73 0
1 ( ' -а0 0
2 \ 0 а0
ч 0 -сг3
2 V -сг3 0
где сг' - матрицы Паули.
Грассманова оболочка Б4,4 пространства L4'4 реализует представление
супергруппы OSp{4, 2; 1), порождаемое представлением супералгебры osp{4,
2; 1). При этом операторы супергруппы OSp{4, 2; 1) сохраняют инвариантной
билинейную форму
/1 t/ \ /1 тч , л Л ти л/^ 0 I /I 2 /2 л1 лЗлМ .
/i2/\/^ л4л/^ < i
7/5(о, о ) = х Т^х +0 ТАВв = х х ~х х -х х -х х +0 9 -в в +в в
-0 в , (4.47)
где Г - матрица (4.46) на элементах
Ь = + вЛЬА
суперпространства Б4,4. Координаты ж'' и вл элементов b ? В4'4 являются
соответственно четными и нечетными элементами алгебры Грассмана,
и форма д3 принимает
значения в Л°.
Как и в теории гравитации, потребуем редукцию структурной супергруппы
L(4, 4) касательного суперрасслоения ТМ4,4 к OSp{4, 2; 1). Необходимым и
достаточным условием такой редукции является существование глобального
сечения д3 ассоциированного с ТМ4,4 расслоения на фактор-пространства
L(4, 4)/OSp(4, 2; 1).
Это фактор-пространство изоморфно пространству всех билинейных форм на
суперпространстве В4'4, приводимых к каноническому виду (4.47)
преобразованиями из 4, 4). Таким образом, глобальное сечение д, может
рассматриваться как суперметрика на супермногообразии М4'4.
192
Глава 4. Геометрии пространства-времени
Для физических приложений естественно требовать, чтобы супермногообразие
включало в себя многообразие. Такое включение индуцируется вложением поля
Е в Л и гомоморфизмом а алгебры Л на Е, при котором
а\ = а(^2 %-iuX" ¦ ¦Xkj ="о-
\ к-0 (г] /
На суперпространстве Вп,т отображение имеет вид
а : (х1, ..., хп; в', ..., вт) (ах1, ..., ахп),
т. е. суперпространство проектируется на свой четный сектор. При этом у
четных координат х сохраняется только вещественная часть.
Однако определение морфизма а на супермногообразии Мп,т сталкивается с
трудностью. Действительно, пусть (U, ф) и (Uф') - две карты на
супермногообразии М",т, пересечение которых несвязно, т. е.
и пи' = Vt U V2, V, П V2 =0 .
Обозначим
01,2 = 0lv,.2 > 01,2 = Ф lvL2-
Пусть ? Vu Ъ2 G V2 - два <т-эквивалентных элемента в карте (U, ф), т. е.
аф\Ъ\ - аф2Ь2.
Но эти элементы не обязательно эквивалентны (т. е. аф\Ъ{ / аф'2Ь2) в
карте (V, ф'), поскольку в общем случае
аф{ф{ а Ф аф2ф2 а.
Супермногообразие М",т имеет атлас, в котором отношение <т-
эквивалентности хорошо определено. Однако фактор-пространство
супермногообразия Мп,т по этому отношению в общем случае не является даже
топологическим многообразием.
Приложение А
Вариационное исчисление и законы сохранения
Существуют разные способы построения дифференциальных законов сохранения
в теории поля. Здесь мы изложим один из них, основанный на первой
вариационной формуле. Этот подход представляется наиболее универсальным.
Пусть У -> X - расслоение, сечения которого s описывают классические
поля. Под дифференциальным законом сохранения понимается соотношение
d(s*T) = О, (А. 1)
где сохраняющаяся величина Т = Т,1(хх ,у' ,у'и)ш^ это горизонтальная (п-
1)-форма на конфигурационном пространстве полей J'Y -* X.
Равенство (А.1) именуется сильным законом сохранения, если оно
справедливо для всех сечений s расслоения Y -> X, и оно называется слабым
законом сохранения, если оно имеет место только на критических сечениях,
т. е. на решениях полевых уравнений. Для обозначения такого условного
равенства будет использоваться символ При этом
может случиться, что сохраняющаяся величина Т принимает вид
T=W + dU,
где W и 0. В этом случае говорят, что она сводится к суперпотенциалу U.
В излагаемом нами подходе, дифференциальные законы сохранения связаны с
инвариантностью лагранжиана полей относительно той или иной группы
симметрий. Суть заключатся в том, что всякая 1-параметрическая группа Gt
послойных изоморфизмов расслоения Y -> X порождает полное проектируемое
векторное поле и на Y и обратно. Можно показать, что лагранжиан первого
порядка L на конфигурационном пространстве J'y инвариантен относительно
этих изоморфизмов тогда и только тогда, когда его производная Ли вдоль
этого векторного поля равна нулю:
UL = 0. (А. 2)
Пусть дано проектируемое векторное поле
ч = иц(х)д1Л+и\у)д{
на расслоении У -> X и й - его продолжение (1.52) на конфигурационное
пространство J'y -> X. Рассмотрим производную Ли лагранжиана L вдоль и.
Имеет место каноническое разложение
Lj-Z/ = dfjT + Uy j (А.З)
194
Приложение А. Вариационное исчисление и законы сохранения
где Йц, - оператор Эйлера-Лагранжа второго порядка. Это так называемая
