Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
давать вклад в интеграл по границе dN.
Например, если L = S'oi - лагранжиан первого порядка на многообразии
струй J'Y расслоения Y, мы имеем выражение
7гг da - dffO dyO
и имеет место соотношение
ho(do) - dH h0(a).
(А. 6)
(А. 7)
N
где гГ = jo и обозначает продолжение и на JrY.
Используя формулу (1.40):
s"\jzrp = s'(ur j dp) + s'd(ur j p),
можно представить функционал (A.7) в виде
(А.8)
Приложение А. Вариационное исчисление и законы сохранения
197
второй член в котором может быть представлен в виде
s*dxud-J?u = s* [$х(ц*д?&)ш - и%(д-^)ш] .
Он содержит точную форму й(з*и'д$&шх), которую следует учесть в интеграле
по границе.
Таким образом, уравнение
s*(ur j dp) = О
является условием на критические сечения формы р на JTY, если для всякого
сечения s форма s*(tT j dp) зависит только от компонент векторного поля
и, но не их производных. Форма р, удовлетворяющая этому требованию,
называется лепажевой формой (Lepagian form).
Пусть р - n-форма на JTY. Следующие условия эквивалентны.
• Проекция /i,(7r^+1*dp) является горизонтальной формой на расслоении
струй Jr+lY -* 7, т. е. зависит только от dxx и dy'.
• Для всякого проектируемого векторного поля ит на JrY, горизонтальная
проекция h0(ur j dp) зависит только от его проекции на Y.
• Для всякого вертикального векторного поля на расслоении струй JTY -*Y,
имеет место равенство
hQ(ur j dp) = 0.
Лагранжианы, как мы видели выше, не являются в общем случае лепажевыми
формами. Можно однако заменить вариационную задачу для лагранжиана L
вариационной задачей для соответствующей лепажевой формы pL, называемой
лепажевым эквивалентом L. Таковой является лепажева форма на Jr+ Y,
удовлетворяющая условию
h0(pL) = xTr+k+l4,
и приводящая к равенству
/••i = /••/>*•
N N
Доказано, что для любого лагранжиана порядка г всегда существуют его
лепажевы эквиваленты порядка 2г - 1. Они образуют аффинное пространство
над линейным пространством лепажевых эквивалентов нулевого лагранжиана
порядка г. Центром этого аффинного пространства может быть выбрана одна
из форм Картана, разложимая по контактным формам . Заметим, что
всякая лепажева форма р является лепа-
жевым эквивалентом лагранжиана
L = hf,(p).
Пусть рь - лепажев эквивалент лагранжиана L порядка г. Для всякого
проектируемого векторного поля и на расслоении Y -* X справедливо
равенство
Ljr+i/io = /i0Lir
и имеет место соотношение
и"гГ 1-ЧГ-& - h0 (LtjjJ*- <Pl) - ho (u2r 1 j dpL) + had (u2r 1 j pL) ,
(A.9)
198
Приложение А. Вариационное исчисление и законы сохранения
называемое первой вариационной формулой. Уравнение
s'u2r~[ j dpL = О, (АЛО)
выполняемое для всех вертикальных векторных полей и на У -* X, является
условием на критические сечения s вариационной задачи для лагранжиана L.
Причем, для всякого такого критического сечения равенство (АЛО) остается
справедливым и в случае произвольного проектируемого векторного поля на
J2r~'Y.
Ограничимся теперь рассмотрением лагранжианов первого порядка L и их
лепа-жевых эквивалентов на многообразии струй J[Y. В этом случае форма
Картана HL определена однозначно и совпадает с формой Пуанкаре-Картана
= 2?ш + irf dy' А (АЛ l)
лагранжиана L. Общий вид лепажева эквивалента лагранжиана первого порядка
L дается выражением _ _ . _
Рь = Et - (d^dy + dtvdyl) (A-12)
где сГ = - антисимметричные локальные функции на У и х - некоторая
(к > 1)-контактная форма на J'y.
В случае лагранжианов L первого порядка первая вариационная формула (А.9)
принимает вид
nflbL = h0(u j dpL) + h0(<ffi j pL) (АЛЗ)
для произвольного проектируемого векторного поля инаУ. После простых
вычислений получаем
ir]*h^L = uv j rSL + h0(du j pL), (АЛ4)
где _
uv ={u j dyl)di
это вертикальная часть канонического расщепления (1.57) продолжения irl*u
поля и на Jly, а
%l = [di - (За + y{dj + у2^ dj)d- ] 3' dy' Аы = dy' А ш (А. 15)
- оператор Эйлера-Лагранжа второго порядка, ассоциированный с
лагранжианом L. Коэффициенты <5;i? формы (А.15) называются вариационными
производными лагранжиана L.
Отсюда следует, что условием на критические сечения s расслоения У -+ X
для вариационной задачи лагранжиана L являются уравнения Эйлера-Лагранжа
второго порядка
д,2> - (дх + dxs]d} + ддС^сГ) д-2 = 0. (А. 16)
Заметим, что разные лагранжианы L и L' могут иметь один и тот же оператор
Эйлера-Лагранжа , если они отличаются друг от друга на лагранжиан
L0, для
которого оператор Эйлера-Лагранжа WLo равен 0. Можно показать, что
необходимым и достаточным условием того, чтобы ??Lo = 0, является
равенство
L0 = h0(e), (А. 17)
где е - замкнутая п-форма на расслоении У.
В этой связи важно подчеркнуть, что, поскольку JlY -* У является аффинным
расслоением, когомологии де Рама многообразия JlY совпадают с
когомологиями де Рама расслоения У. Это означает, что всякая замкнутая
внешняя форма на J'Y представляет собой сумму замкнутой формы на У и
точной формы на JlY.
Приложение А. Вариационное исчисление и законы сохранения
199
Законы сохранения
