Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим в лагранжевом формализме первого порядка дифференциальные
законы сохранения, исходя из первой вариационной формулы (А. 14).
Пусть L - лагранжиан на J'Y. Тем же символом L мы будем обозначать и^его
продолжение v]*L на J2Y. Пусть и - проектируемое векторное поле на Y -* X
кй - его лифт (1.52) на многообразие струй J'Y -* X.
Запишем первую вариационную формулу (А. 14), выбрав в качестве лепажева
эквивалента лагранжиана L форму Пуанкаре-Картана Еь (А. 11):
оператора Эйлера-Лагранжа (А. 15), равенство (А. 18) сводится к слабому
тождеству
На решениях s уравнений Эйлера-Лагранжа, слабое тождество (А. 19)
принимает форму дифференциального закона сохранения
который имеет координатный вид (А.4).
Заметим, что в случае выбора другого лепажева эквивалента рь лагранжиана
L соответствующее слабое тождество
где pL = SL + е. В физической интерпретации это означает, что разные
лепажевы эквиваленты приводят к разным суперпотенциалам в законах
сохранения.
Можно также взять лагранжиан L , отличный от L, но который имеет тот же
оператор Эйлера-Лагранжа. И в этом случае слабый закон сохранения
отличается от (А. 19) на сильное равенство
ЬйМО = Л0(<йг _j е), (А.22)
где е - некоторая замкнутая ф°Рма на ^ ¦
•Рассмотрим теперь ситуаций' когда лагранжиан L зависит от фоновых полей.
Такой лагранжиан представляет собой Форму' инДУЦированную из некоторого
лагранжиана LtM на конфигурационном простра!101(r)^(r)06* полей посредством
сечений фл{х), описывающих фоновые поля. В присутстРи>1 Ф°новых полей фА,
соответствующие вариационные
L^-i = Uv -i ?l + dHh0(u j aL).
(A. 18)
Будучи офаниченным на ядро
[Э, - (Эл + 2/1Э, + yixd?)di ]J2* = 0
L^L ~ dHh0(u j aL),
(A. 19)
Эх = Эл +y\di + .
s Lj-L ~ d(s и j C/l),
(A. 20)
L~ ho(d/H _j pL)
отличается от (A. 19) на сильное равенство
0 = h0(dv, j е) = dHh0(u j e),
(A.21)
200
Приложение А. Вариационное исчисление и законы сохранения
производные 6А.5^ в операторе Эйлера-Лагранжа (АЛ5) не обращаются в 0, и
мы получаем правую часть в законе сохранения (АЛ 9) в виде
0 и (иА - и*у*) 6а2? + дх [кА (иА - и*у*) + пх (и' - и*у'ц) + их&] .
Например, многие полевые модели описывают поля в присутствии фоновой
метрики g на базе X. В этом случае частные производные дх2? в слабом
тождестве (АЛ 9) содержат член
д&
" W,
дд^
приводящий к метрическому тензору энергии-импульса полей:
d
71 = 2
Важно отметить, что слабое тождество (АЛ9) линейно по векторному полю и.
Поэтому можно рассматривать суперпозицию различных законов сохранения
(АЛ9), отвечающих разным векторным полям и. Например, если и а и'
проектируемые векторные поля на расслоении У -> X, накрывающие одно и то
же векторное поле на базе X, их разность и - и1 является вертикальным
векторным полем на У -> X. Соответственно разность слабых тождеств (АЛ9),
записанных для и и и', приведет к слабому тождеству (АЛ9), получаемому в
случае вертикального векторного поля и - и1.
В частности, всякое проектируемое векторное поле и на расслоении У -> X,
накрывающее векторное поле т на базе X представляется суммой
вертикального векторного поля на У -> X и некоторого поднятия векторного
т на У.
Отсюда следует, что всякий дифференциальный закон сохранения сводится к
суперпозиции закона сохранения, записанного для вертикального векторного
поля на расслоении У -> X, и закона сохранения, отвечающего упомянутому
выше лифту на У векторного поля на X.
Исследуем эти два типа законов сохранения.
Нетеровские законы сохранения
Рассмотрим слабое тождество (АЛО), когда и вертикальное векторное поле на
расслоении У -> X. Оно принимает вид
s*UL*-^-Tx, (А.23)
ахА
(u'di + dxudx)?? и дх(жхи),
где величина
Т = и jSl = жх ишх (А.24)
называется нетеровским током, отвечающим вертикальному векторному полю и.
Если лагранжиан L удовлетворяет сильному условию
LйЬ - 0,
мы получаем слабый закон сохранения нетеровского тока (А.24):
Приложение А. Вариационное исчисление и законы сохранения
201
Хорошо известный пример таких законов сохранения дает калибровочная
теория. Пусть Р-"1 - главное расслоение со структурной группой Ли G.
Напомним, что имеет место взаимно однозначное соответствие между
связностями на Р и глобальными сечениями расслоения С (1.89),
параметризуемого координатами (гм, /с(tm)).
Пусть Y - векторное расслоение (2.24), ассоциированное сР-*1, сечения
которого описывают материальные поля в калибровочной теории. В случае
ненарушенных симметрий полное конфигурационное пространство калибровочной
модели представляет собой прямое произведение
JlE х JlC. (А.25)
х
Рассмотрим вертикальное векторное поле иг-^% отвечающее локальной 1-
параметрической группе калибровочных изоморфизмов (1.83) расслоения Р. На
произведении CxY
х
оно имеет вид
"3? = ("тЛдл"т + Ит<*т) дА = (d"am + с(tm),*?ап) д? + ат (x)Im'tf dit
(А.26)
где а,гг(х) - локальные функции параметров и А - коллективный индекс.
Лагранжиан L на конфигурационном пространстве (А.25) является
калибровочно инвариантным, если для всякого векторного поля (А.26)
