Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
выполняется сильное равенство
uy/l = 0.
В этом случае первая вариационная формула (А. 13) приводит к сильному
равенству
+ "т^а") 6а?? + дх [{utam + и^д"ат) дА&] = 0,
где ЬаЗ' - вариационные производные лагранжиана L. В силу произвольности
функций а'"(ж), это равенство эквивалентно системе сильных равенств
чАтЬА2' + d^uid^) = 0, (А.27а)
+ dx(ui"dA-tf + = О, (A. 27b)
vtfd^ + utTd^ = 0. (А.27с)
Подставляя (A.27b) и (А.27с) в (А.27а), мы получим известные условия
связи на вариационные производные калибровочно инвариантного лагранжиана
L:
ui6AJ2 - д^6А&) = 0.
На решениях уравнений Эйлера-Лагранжа сильные равенства (А.27а)-(А.27с)
воспроизводят тождества Нетер
d^uid^) и О, (А.28а)
dx(utTdxA^) + uid^ я О, (А.28Ь)
uiXd^ + = 0. (А. 2 8 с)
Заметим, что с физической точки зрения тождества (А.28а)-(А.28с)
представляют собой необходимое и достаточное условие инвариантности
закона сохранения
дх [(uiam + U^d^am) &А&] и 0 (А.29)
202
Приложение А. Вариационное исчисление и законы сохранения
относительно калибровочных преобразований. Это означает, что, если
равенство (А.29) выполняется для некоторых калибровочных параметров а(х),
оно остается справедливым и при их произвольных вариациях а + <5. При
этом, в силу (А.27Ь) и (А.27с), сохраняющейся нетеровский ток может быть
приведен к виду
Тх = (uiam + и^д,ат) д= -amuix6A^ + д, (ати^ дх^) ,
т. е. он сводится к суперпотенциалу
Тх и д, (ати^дх^) .
Законы сохранения энергии-импульса
В общем случае векторное поле т на базе X может быть поднято на
расслоение Y только с помощью некоторой связности на Y -> X. Слабое
тождество (А. 19), записанное для такого векторного поля на Y, приводит к
закону сохранения энергии-импульса. Пусть т - некоторое векторное поле на
X и
тг = т J Г = т"(9м +Г)Д)
- его горизонтальный лифт на Y посредством связности
T = dx"
на Y. В этом случае слабое тождество (А. 19) принимает вид д^2> + [т'ч +
тха, + (аЛ(т%) + т^хд,г; - у^) эх] & -
(А. 30)
-дх [^(^-т'^ + ^йо и после некоторых упрощений может быть приведено к
равенству
г" {[д, + г;а, + (9Лг; + ^ла,т;) дх] & - дх [л,л (г; - у;) + 6х} ~ о.
Поскольку это равенство справедливо для любого векторного поля т на X,
оно эквива-
лентно системе слабых равенств
[д. + г;д + (аЛг; + ^ла,г;) дх] з> - дх [** (г; - у;) + 6х" о. <а.з1)
На решениях s уравнений Эйлера-Лагранжа, слабое тождество (А.30)
превращается в закон сохранения
s L?tL + [т'1^Гл"(,)] шйО,
который эквивалентен системе слабых равенств
[д" + г;а; + (аЛг; + з^Чг;) дх] & + ^ [*х (04 - г;) - 6х"о. <а.з2)
Величина .5^A;l(s) здесь это тензор энергии-импульса, отвечающий данной
связности Г на расслоении Г-*Х. Он задается коэффициентами Т*Х-значной (п
- 1)-формы
ff(a) = -(Г j SL) о s = [тг,Л(^а; - Г;) - dx" (r) шх
на X
Приложение А. Вариационное исчисление и законы сохранения
203
Например, пусть лагранжиан L зависит от фоновой метрики д на базе X. В
этом случае закон сохранения (А. 32) принимает вид
где {^"сЛ - символы Кристоффеля метрики д и
iQ ат.
Ь=9 t-y/з
- метрический тензор энергии-импульса. При определенных свойствах
симметрии лагранжиана L этот закон сохранения превращается в ковариантный
закон сохранения
vj; = о,
где Va обозначает ковариантную производную по связности {0 у.
Рассмотрим теперь слабое тождество (А. 30) в вариантах, когда векторное
поле т на базе X поднимается до векторного поля на Y посредством разных
связностей Г и Г' на Y -> X. Их разность приводит к слабому тождеству
[t'V;#; + (9a(tmct^) + yidjiT^crD) di] J?' - dx У^а1^] " 0, (A.33)
где сг = Г' - Г это припаивающая форма на расслоении Y -> X и
т j сг = T^a'^di (А.34)
- вертикальное векторное поле. Тождество (А.ЗЗ) это в точности тождество
(А. 19), записанное для вертикального векторного поля (А.34).
Таким образом можно сделать вывод, что всякий дифференциальный закон
сохранения есть суперпозиция закона сохранения некоторого нетеровского
тока и закона сохранения энерги и - импульса.
Энергия-импульс калибровочных полей
Пусть Р -г X - главное расслоение со структурной полупростой группой Ли G
и С - расслоение (1.89) с координатами (х*,к(tm)).
На конфигурационном пространстве J'C лагранжиан Янга-Миллса калибровочных
полей Тум в присутствии фоновой метрики д на базе X задается выражением
(2.21). Для всякого векторного поля т на X существует поднятие этого поля
Тв = тхдх + [тА (амВГ - cZKB'x) + дУ (ВТ - Ю] С (А.35)
на расслоение С посредством некоторой связности В на расслоении Р. Часть
этого выражение в квадратных скобках аналогична выражению для
вертикального векторного поля на С, отвечающего калибровочным
изоморфизмам. Поэтому производная Ли калибровочно инвариантного
лагранжиана ЬУМ вдоль тв сводится к
иуи = (дУ^м + тАДА22?м - 5удхт"У) ш.
Подставляя это выражение в (А.30), получаем закон сохранения энергии-
импульса калибровочных полей в виде
дУум - туУТ\ {\а} - уТдхт"У ъ
* дх КА (r4dvB(tm) - C.KBl) + дУ(В? - К) - т1**" ) + бУ^м] , (А.36)
204
Приложение А. Вариационное исчисление и законы сохранения
