Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
и определим
антности метрики д это определение не зависит от выбора точки q.
Обратно, предположим известными метрику 7 на М, распределение HqE, q G Q,
и G-инвариантную метрику hx на слоях Ех. Возьмем произвольные два вектора
tq, t'q G ТЧЕ. Пусть q0 G Q - точка такая, что q - q0a для некоторого
элемента a G G,
тия ir*(tq) и 7г*(t'q) в горизонтальное векторное пространство НЧоЕ.
Тогда векторы
Например, пусть q G Q и векторы tq) t'q - горизонтальные. Тогда второй
член в выражении (4.33) отсутствует и оно сводится к выражению (4.32).
Если векторы tq, t'g имеют только вертикальные составляющие, то
(.ПчЕ)а = HqaE, а ? G.
Ъ(1, t')=gq(tq, t'q),
(4.32)
где tq и t'q - поднятия t и t' в горизонтальное пространство НЯЕ. В силу
G-инвари- ^
векторы K*(tq) и 7г*{t'q) - проекции tq и t'q на Т"(ч)М и векторы tf и
t'f - подня-
вертикальные и метрика д может быть определена следующим образом;
9q{tq, О = 7 *(?")) + hx(tq - tf a, t'g -
t'fa).
(4.33)
7^(f,) = 7Г* (t'g ) = 0,
и выражение (4.33) воспроизводит определение метрики hx
182
Г лава 4. Геометрии пространства-времени
Перепишем выражение (4.33) для метрики д в компонентах. Пусть {жм} -
некоторая локальная система координат на многообразии М и (ем(д)} -
горизонтальные поднятия векторов дм в НЯЕ. Векторы (eM(g),ra(q)} образуют
базис касательного пространства TqE к Е в точках подмногообразия Q и
некоторой его окрестности U. Поскольку векторы ем(д) и та(д) ортогональны
относительно метрики g, последняя в базисе {е1Л(д),та(д)} имеет вид
q = [сг(а;)]!П ж = тг (q), на Е, определяемая локальным сечением а
главного расслоения Q, и 9"Лх, у) = 9(e"(q), e"(q)) = l(d", d") =
Выразим теперь ем через . В локальной системе координат
(ж, a) G М х (N/H), q = [а(х)]а, а 6 N/H,
определяемой сечением а на Q, форма связности А на Q в точках q = (ж, 1)
имеет вид
Это означает, что в точках q = (х, \) € Q С Е в базисе {<9И, rQ| (ж, 1)}
контравари-антные компоненты G-инвариантной метрики д на Е имеют вид
где
(ж, у) G М х (G/H)
- локальная система координат
Тогда, учитывая, что
gap(<?(x)) = да/3( ж, 1) = Ла/3(ж), выражение (4.33) для метрики g в
точках q = (ж, 1) можно переписать в виде
(4.34)
Таким образом она выражается через:
§ 3. Супергравитация
183
• компоненты метрики 7"" на "пространстве-времени" М (хотя надо
подчеркнуть, что существование на Е инвариантной метрики с наперед
заданной сигнатурой не гарантировано);
• калибровочные потенциалы группы N/Н на М;
• мультиплет скалярных полей haB - компоненты метрики во "внутреннем"
пространстве G/H.
Приведем еще выражение для скалярной кривизны метрики д на Е:
(4.35)
- \ D"haf3) - l- h^h?6 (Dph^ D^Ks + D"ha0D"hlS) ,
которая выражается через ковариантные производные VM и кривизну R1
метрики 7 на М, ковариантные производные Dм и напряженность F
калибровочных потенциалов А группы N/Н и метрику h на G/H.
Выражения типа (4.34) и (4.35) составляют математическую основу
многомерных объединенных моделей типа Калуца-Клейна.
§3. Супергравитация
Одним из перспективных кандидатов на объединение фундаментальных
взаимодействий, включая гравитацию, является теория суперсимметрий и
супергравитации. Ведение суперсимметрий основывается на том, что
классические поля образуют ^-градуированную суперкоммутативную алгебру Е,
т. е.
ф(r) ф' = -ф' (r) ф, г
когда фиф' - только фермионные (нечетные) элементы Е, и
ф<(r)ф' = ф'(r)ф
в остальных случаях. На этой алгебре, кроме обычных симметрий, могут быть
заданы преобразования суперсимметрий, переводящие бозонные и фермионные
поля друг в друга.
Рассмотрим линейные операторы, действующие на алгебре Е. На множестве
этих операторов также можно задать Z2-градуировку, полагая четными
(соотв. нечетными) операторы, не меняющие (соотв. меняющие на
противоположную) четность элементов из Е.
Введение нечетных операторов на Z2-градуированной алгебре полей Е
приводит к обобщению понятия алгебры Ли. Элементами алгебры Ли являются
генераторы I четных преобразований, которые действуют на тензорные
произведения полей по закону
Цф(r)ф') = Цф)(r)ф' + ф(r)1(ф'). (4.36)
Определим действие на тензорное произведение полей генераторов нечетного
преобразования Q. Пусть ф и ф' - нечетные элементы Е. Тогда, чтобы
удовлетворить условию
ЖФ<в>ф') = -сг(Ф' (r)ф),
R - Ry 4" /г
из'
•у а
2 ca3c3'i
- - haa h
y-t'Ca3Ca'3
с , 4* с
7/3 V"
са3 су0'
184
Глава 4. Геометрии пространства-времени
надо по аналогии с (4.36) положить
Q(<p (r) ф') = (}(ф) (r)ф' - ф(r) Я(ф')-
Таким образом при перестановке нечетного генератора с нечетным элементом
из Е появляется множитель - 1.
Рассмотрим теперь действие четных операторов QQ' и Q'Q:
QQ'W (r) Ф') = {QQ'm (r)ф' + (-1 f1+1W) (r) Q'(0') +
+ (-1 )WQ'(0) (r) w') + ф (r) (ЯЯ')(Ф'\
(4.37)
Я'ЖФ (r) 0') = (Q'Q)(0) (r) 0' + (-\)W+[Q'(ф) (r) W')+
+ (-if1W) (r) Q'(f) + Ф (r) (Q'QXA
где |0| обозначает четность элемента ф. Действие (4.37) отличается от
действия (4.36) четного генератора I алгебры Ли. Как видно из выражения
