Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
Динамическими переменными в аффинно-метрической теории гравитации
являются псевдориманова метрика и общая линейная связность на
пространстве-времени X. Мы будем называть их мировой метрикой и мировой
связностью.
Пусть LX -> X - главное расслоение линейных реперов в касательных
пространствах к X со структурной группой GL4.
Как и в случае калибровочной теории, существует взаимно однозначное
соответствие между мировыми связностями и глобальными сечениями
расслоения
Cw = JlLX/GL<.
Обозначим Es -> X расслоение псевдоримановых метрик. Мы будем его
отождествлять с открытым подмногообразием тензорного расслоения
VT*X -> X.
Полное конфигурационное пространство аффинно-метрической теории
гравитации тогда имеет вид
JlY = J'(Se х CJ (А.46)
X
и параметризуется координатами
Предположим, что лагранжиан L аффинно-Метрической теории гравитации на
конфигурационном пространстве (А.46) зависит от метрических координат
да13 и комбинаций типа кривизны
= &%А>/ - fc%>/A + ka e"k' f)\ - ka e\kC f)".
_________Приложение А. Ва^^1ю,,,,0сн"^сяение и законь|
сохранения____207
В этом случае выполняются соотношения
Р'/Хк'т Л - 7га<Т1/ЛА;/3сгЛ, --- = ТСа К а\ а сгА>
UKa А,,
р"\ _ д = -¦к/*1'.
си - va
Предположим, что I, инвариантен относительно общих ковариантных
преобразований.
Пусть т - векторное поле на X. Его канонический лифт на расслоение х Cw
имеет вид
т = тЧ + (/Чт" +да"дУ) -^+{dvrakv0li-d,Tvk\lt-dlirvka^-ds,Ta} ~
дда/3 ona0li
Для упрощения выражений введем следующие обозначения
т = тЧ + (gvl3dvTa +gavdvT13) da/3 + (V*4T" - uAcf dtPTa) dA. Поскольку
L.~L = О, (A.47)
чт
мы получаем слабый закон сохранения
О " дх [д\2' {иА1дрТа - иА^д^та - уАта) + тЛЧ , (А.48)
где
д'А<?чл1 = 4^*4 - тг/^Ч - тгЧЧ-Ч =
= dj>'2'-*all>'k%a.
В силу произвольности функций т" равенство (А.47) приводит к сильному
равенству
+ у/Чт? + ил1дА3" + Q№AtWA& - I?дРА2> = 0. (А.49)
При этом величину
= 2gavdv^
можно интерпретировать как метрический тензор энергии-импульса мировых
связностей.
Подстановкой уАдА _5~ из выражения (А.49) в закон сохранения (А.48)
последний
А
приводится к виду
о и дх [-у^тЧа + &А3> [uAid0Ta ~ ЧЧЧ) -
(А. 50)
- дА&иА1та - -
Выделим в выражении (А.50) член с компонентами оператора Эйлера-Лагранжа
STr = (6a^dga0 + ба"&йка") л W.
208
Приложение А. Вариационное исчисление и законы сохранения
Мы получим
о " дх [д^иА^та - д, (д^иАХа) Г" + д,и (жа'"х) д'Та} +
+ дх [-2дх"та6а^ - чАХатаёА&] - Зх [§>^40]
и затем
о " дх [-д,(дах^)та] + дх [-2дх"таёа^ - (к\116а(tm)& - к\>"ьх"& -
- к%аё^х^)та + ёасХ^дета] - дх [д, {жа^хф"т" + п\ат°))] ¦ Закон
сохранения (А.48) принимает окончательный вид
0 и дх [-2дх"таёа^ - (кх^ёа- к*а"ёах"2> - к%аёЛх&)т~ +
+ Sa'xJ?d'Ta - д, (ё^^) т"] - дх [^(^(Д т- + """"о],
где сохраняющаяся величина сводится к суперпотенциалу
я
^А(т) = - (д'т" + пв*"т') *
иц,\
называемому обобщенным суперпотенциалом Комара.
Приложение В
Когомологии со значениями в пучках
Начнем с определения предпучка и пучка. Предпучок считается заданным на
топологическом пространстве X, если каждому открытому множеству U С X
сопоставлена некоторая абелева группа Su (50 = 0), а каждой паре открытых
множеств V С U сопоставлен гомоморфизм
tv '¦ Sv -> Sv,
такой, что
а) Ту = IdS(/;
б) Tvw=TVwrUy для W С Z С U.
Пример В.1. Пусть X - топологическое пространство, Sv - абелева группа по
сложению всех непрерывных вещественных функций, определенных на U С X, а
гомоморфизм
ту Sv -> Sy
определяется как сужение их на V С X. Тогда S Е {Su, г у} - предпучок. ?
Следующая конструкция позволяет каждому предпучку сопоставить
специального вида расслоение (накрытие) (S(X), 7r, X), называемое пучком.
1. Для каждой точки х ? X обозначим Sx прямой предел абелевых групп , х ?
U, по отношению к гомоморфизмам Гу. По определению это означает, что для
каждой открытой окрестности U точки х каждый элемент s Е Sv определяет
некоторый элемент sx Е Sx, называемый ростком элемента s в точке х.
Причем два элемента s ? Su и s' ? Sy определяют один и тот же росток
тогда и только тогда, когда существует такая окрестность W Эх, что
и V I
Т\у S - Т\у S .
В частности, если s s' - вещественные функции из Примера В.1, они
определяют один и тот же росток sx, если совпадают на некоторой
окрестности W точки х.
2. Прямой предел Sx абелевых групп Su (он называется стеблем пучка)
является абелевой группой (это неверно для неабелевых групп). Пусть S(X)
- объединение всех групп Sx, х ? X. Введем на этом множестве топологию.
Для каждого открытого множества U С X и каждого элемента s ? Sv обозначим
S(U) подмножество множества S(X), состоящее из всех ростков sx, х ? U,
элемента s. Семейство всех множеств S(U) (U пробегает всевозможные
открытые множества пространства X, a s пробегает все элементы из Sv)
образует базу топологии, вводимой в S.
3. Пусть тг: S(X) X - отображение, переводящее каждый из стеблей Sx, х ?
X, в соответствующую точку х ? X. Согласно определению топологии в S(X)
